《写给成年人的数学学习法》by 永野裕之

《大人のための数学勉強法》永野裕之李俊译

2021.9.15-2021.9.21 读后杂记

这本书的中文译名为《写给全人类的数学魔法书》，而日文原意为《写给成年人的数学学习法》。

此书的内容在我看来是非常非常之有用的。所以将其整理记录。

书中几乎所有的数学思想，都紧跟着相关数学习题，有助于理解。

第0部序言
第1部怎样学好数学？
第2部在解题前应该掌握的知识
第3部遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路~
第4部解题方法综合应用。
结语

第0部序言

很多人，认为数学好的人是有天赋的人，聪明的人，同时觉得自己在数学方面没有才能。这种想法是错误的！

每个人都可以把数学学好，这并不要求我们有非凡的大脑，只要我们的智力正常，就可以学好数学。很多时候并不是我们没有这方面的才能，而是我们掌握的学习方法不正确

将学会的知识教给别人。

For me 我们在教授的过程中，往往会注意到之前并没有意识到的问题，教授他人可以加强自己对问题的理解，当然教学对象也可以是自己，记忆会更深刻。之前就很喜欢讲给他人某项知识，一些人会去尝试着理解，一些人则会~。

并不是所有人都有时间听你讲课，也并不是所有人都喜欢学习！尤其是在我们这个教育环境之下，学习是可怕的。所以渐渐只讲给自己听。自言自语。

我们为什么学数学，以前我不太懂。为了应试去学数学，很容易走到一种厌烦的境地。近几年应试数学在学习中所占比重减小，尤其是在高考之后。自己出于兴趣推导过导数的一些公式，看一些数学故事，以及一些国外的图形化的数学概念视频。慢慢感受到了数学之美，数学近乎于道。

爱因斯坦：“能够忘掉在学校学到的知识，才算是教育。因为在校园里接受的只是最基础的教育，学到的只是书本上的知识。要想真正学到人生有用的知识，就要自己去感悟，在实践中获得经验与灵感。”

这本书第三部分会讲适用于任何数学题的10种解题方法。

第1部怎样学好数学？

1.1 死记硬背要不得

学数学不能死记硬背公式和解题方法，这不是数学的目的。要去发现数学里真的东西，体会思想。

体悟数学带给你的美感，像听一首歌。

1.2 代替死记硬背的方法

当你弄明白哪些地方你不明白，就意味着答案离你不远了。所以要多问，为什么！

前提是，主动学习。

1.2.1 寻找或扩展概念之间的联系

一次函数的图像 y=ax+b 为直线， a表示斜率，b 表示与y轴的切线截距。

斜率 = $\frac{△ y}{△ x}$ , 不仅限于一次函数，在任何函数中都可以用得上。在一次函数之外，一般称为“平均变化率”。当x无限趋近于0的时候，牛顿和莱布尼茨就从中得出了微分学的基本定理。

很多概念之间是有联系的：
一次函数一次函数的图像斜率的定义平均变化率微分学

平均变化率（自己证的）

一个二次函数图像为曲线

y = x^{2} + b

导数

d y = 2 x d x

根据二次图像导数公式画出导数的图像， $x_{2} - x_{1}$ 之间的面积, 就是这一段二次图像的斜率之和。

\int_{x_{1}}^{x_{2}} 2 x d x

发现二次函数两点间的斜率之和的平均等于两点间的计算斜率的公式。

面积/底=平均高度

\frac{\int_{x_{1}}^{x_{2}} 2 x d x}{x_{2} - x_{1}} = \frac{△ y}{△ x}

我们在学习数学的过程中，要常常验证定义和公式。验证的过程中可以体会到前辈在发现它们时的惊讶和感动。自己动手来验证，你就会有所感触。这种感触时知识向智慧的转变。

1.3 对定理和公式进行验证

问题不在于告诉他一个真理，而在于教他怎样去发现真理。卢梭

我喜欢旅行，但不喜欢到达目的地。爱因斯坦

通常人们把登上山顶作为目的，把登山作为手段。或许两者可以颠倒一下。三木谷浩史

结果并不是最关键的，重要的是它的过程。

For me 结果的意义由其过程赋予

在学习数学的过程中，如果说有什么东西值得背下来的话，那么就只有一个：对定义和公式的验证方法。

在人类千百年来的实践中，定理和公式是人类智慧的结晶。

1.3.1 勾股定理的验证

直角三角形中：

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

对于勾股定理的验证至少有100种方法。

Pythagorean Theorem
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/

1.3.2 平方的转换

a x^{2} + b x + c = a (x + p)^{2} + q

十字相乘：(二次三项式) 交叉相乘平行相加

a x^{2} + b x + c

\frac{(\begin{matrix} a_{1} x & + & c_{1} \\ \times \\ a_{2} x & + & c_{2} \end{matrix})}{b = a_{1} c_{2} + c_{1} a_{2}}

$a = a_{1} a_{2}$
$c = c_{1} c_{2}$
$b = a_{1} c_{2} + c_{1} a_{2}$ (十字相乘平行相加的和)

分解结果： $a x^{2} + b x + c = (a_{1} x + c_{1}) (a_{2} x + c_{2})$

1.3.3 平方转换的基本公式

x^{2} + m x = (x + m / 2)^{2} - (m / 2)^{2}

E.g.

x^{2} + 10 x = (x + 5)^{2} - (5)^{2}

这个公式在某些最终结果的化简上有奇效，但是在求解方面要多用因式分解转换！

1.3.4 找到灵光一闪的原因

从模仿开始，弄清楚那些灵感和奇思妙想得来的原因。

一个全新的创意能够被想出来是非常不容易的。

1.4 准备自己的笔记宝库

一定要用自己的话来做笔记。

细摘

定理*公式篇

把新学到的定理和公式给记下来。
写下对这个定理或公式的验证方法。
不要抄书，先自己打个草稿，把完整的过程写下来。最后再誊写到笔记本中。
其他的验证方法。
与第二步验证方法不同的就记下来。

习题篇

把题目抄到本子上。
没有必要把所有的题目都抄下来，你的笔记本只记录宝藏！如果你觉得这道题很有意义，从这道题的解法中可以学到许多东西。那就完整的记下来，因为以后还需要再看。
解题。
不要看书，自己先打个草稿，然后再抄到本子上。
其他的解法
记下解题的思路和想法。
许多题目在解题方法中往往都有共通的思路，本质性的思路，如果我们能领悟到的话，数学或许真的不再艰难！

第2部在解题前应该掌握的知识

2.1 数学领域的基本划分

algebra 代数 (涉及到未知数的数学)
代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。
解析(微积分*概率)
几何(图形)

这个似乎并没有一个标准的答案，数学领域的基本划分。

2.2 演绎和归纳

找到规律性的结论。

2.2.1 演绎法：

把在整体当中成立的理论，应用到部分当中去。

E.g. 太阳是东升西落的，所以我家这里的太阳也是东升西落的。

2.2.2 归纳法：

把在部分当中成立的理论，推及到整体当中去。

E.g. 这家的蜂蜜是甜的，那家的蜂蜜也是甜的。所以蜂蜜都是甜的。

2.3 未知数

未知数的使用，有助于我们寻找事物背后隐藏的规律和性质。

2.3.1 去除未知数

题目 1：假设 $\sqrt{7}$ 的小数部分为 $a$ , 求 $a^{2} + 4 a - 7$ 的值。

解题思路：相对比较，等值代换，去除未知数。

解：

因为：

2 < \sqrt{7} < 3

由题可知：

a = 0. ◻ ◻ ◻ ◻

\sqrt{7} = 2 + a

a = \sqrt{7} - 2

利用等值替换将a的值带入方程：

(\sqrt{7} - 2)^{2} + 4 (\sqrt{7} - 2) - 7 = - 4

2.4 练习册后面的答案

我们常常发现，练习册后面的答案都是精确并简短的。

这是因为出版社对于字数，纸张，页数的要求很严格。因此答案会尽量的精简，这导致学生有时并不知道为什么这一步这样算，下一步那样算。只是感觉到答案撰写者对于数学题目解答的智慧以及奇思妙想。

这种答案并不是灵光一闪就出来的，只不过是修饰过后的版本。只要我们认认真真，踏踏实实的思考，也可以得到！

重要的工具就是，基本的解题思路。 这本书之后会列举10个解题思路。非常优美！

2.5 解题基本功

2.5.1 除法的两种含义

例子：

12 \div 3 = 4

包含：12里有几个3？ 12里有4个3。
均分：12平均分成3个，每一份有4个。

2.5.2 图表与联立方程组之间的关系

{\begin{matrix} y = 2 x + 1 \\ y = - x + 4 \end{matrix}

$y = 2 x + 1$ 表示一系列满足这个方程的点 $(x, y)$ , 这些点组合起来就变成了一条直线。也可以说满足方程的点就在这条直线上。

$y = - x + 4$ 表示一系列满足这个方程的点 $(x, y)$ , 这些点组合起来就变成了一条直线。满足方程的点就在这条直线上。

联立方程的意思就是，这个点既满足第一个方程，又满足第二个方程！于是，这个点即在 $y = 2 x + 1$ 的直线上，也在 $y = - x + 4$ 的直线上。

$(x, y)$ 就是两个直线的交点！

2.5.3 辅助线

常用 平行线，垂直线。

2.6 数学好的人，头脑里都装了什么

一个人是否掌握了基本的解题思路，就决定了他数学成绩的好坏！

无论多么复杂的应用题，都不过是由一个个基本的数学题组合而成的。越是复杂的问题，越要归纳出其中的原理，规则，定义。将复杂的问题分解成一个个基本问题。

for me 任何一个大型应用，也不过是由一个个基本的函数功能实现的。编程时遇到需要重复使用的代码块时，就要将它重构成一个基本的函数。

第3部遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路~

3.1 (解题思路1) 降低次方和次元

作用：数字的降次让运算变得更简单，立体图形的降维让图形更容易把握。

3.1.1 降低次方

可以观察到，随着次方的增加，运算的复杂度也在增加。

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(a + b)^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}

如果能够降低次方，那么问题就会简单很多！

因数分解公式

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

题目 2.1：求 $x^{3} - 1 = 0$ 的根。

解：

$x^{3} - 1^{3} = 0$
$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$
${\begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x^{2} + x + 1 = 0 \end{matrix}$
1个实根： $x = 1$

二次公式

$一元二次方程： a x^{2} + b x + c = 0 的两根为： x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

两个虚根： $x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2}$

虚数单位 $i$

$i^{2} = - 1$

这里我们带入虚数

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{3 i^{2}}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{3} i}{2}$

题目 2.2：求 $x$ 非实数根的4次方 11次方 30次方

由2.1的结论可知，非实数根本身就足够复杂。更不必说它的高次方运算结果了。

我们能不能降低这些高次方的运算，将其变为第次方的运算呢？

或者换个说法，找到高次方和低次方的联系。

假设：

\frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2} = w

$w$ 是希腊字母，读作“欧米伽”。因为 $w$ 是二次方程式 $x^{2} + x + 1 = 0$ 的解，那么将 $w$ 代入方程式，就可以得出：

w^{2} + w + 1 = 0

进行变形：

w^{2} = - w - 1

这其实就是一个高次方和低次方的联系！

同时， $w$ 一开始就是 $w^{3} = 1$ 的解所以

w^{3} = 1 = w^{0}

这又是一个高次方和低次方的联系！

我们把这两个联系组合到一起，构成更加广泛适用的高低次方联系：

{\begin{matrix} w^{2} = - w - 1 \\ w^{3} = 1 = w^{0} \end{matrix}

解：

$w^{2} = w \cdot w^{3} = w$
$w^{11} = w^{2} \cdot w^{9} = w^{2} \cdot (w^{3})^{3} = w^{2} \cdot 1$
$w^{30} = (w^{3})^{10} = 1$

这就是降低次方的乐趣所在！

3.1.2 降低次元

在书本中出现的立体图形，其实都是一个二维图形，因为它们仅仅是一些线段在平面上铺出来的。

当我们把3次元的物体落到2次元的平面上，图形就会发成扭曲。

没有任何一个正方体的物体落到2次元的平面上，会存在可测量的直角。

我们所要做的就是将题目中的各种“立体”图形，分离成为一个2次元的图形。

如上图，如果我们要求其中蓝色区块的面积。在立体图中并不是那么直观，反而将他降次可以变得更真实更直观。

3.2 （解题思路2）寻找周期性和规律性

作用：更容易把握那些无限延伸或非常庞大的数值。

for me 似乎任何数学解题法都可以归类为寻找周期性和规律性不是么？

E.g. 整数： $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \dots$

将它们分别 $\div 3$ ，我们会发现所有的余数都在 $0, 1, 2$ 里循环。

而这就是我们发现的规律性和周期性。是不是很简单？

通过我们的发现我们可以将所有的整数都归纳为：

3 n, 3 n + 1, 3 n + 2 (n \in Z)

当我们遇到无限延伸或非常庞大的数字的时候，首先找找是否存在周期性和规律性，这种思路在数学学习上很有帮助。

模运算是周期性和规律性里的一个常见的组成部分。

3.2.1 找不着日历也没有关系

同钟表以12为循环一样，星期是以7为循环。

题目 3：某一年的3月1日是星期四.

问同年3月8日星期几？

$(8 - 1) \div 7 = 1 \dots 0$

答案是星期四。

再问同年3月15日星期几？

$(15 - 1) \div 7 = 2 \dots 0$

答案是还星期四。

再再问同年3月16日星期几？

$(16 - 1) \div 7 = 2 \dots 1$

答案是星期四的后一天，星期五。

这里又存在一个规律了。由这个规律可以得出一些有趣的结论。

每年的3月1日_{3月30日的星期与同年11月1日}11月30日的星期相同。
因为11月1日 - 3月1日间隔245天。 $245 \div 7 = 35 \dots 0$
每年的4月1日_{4月30日的星期与同年7月1日}7月30日的星期相同.

3.2.2 同余式

假设给定一个正整数 n, 然后用所有的整数除以 n, 根据所得余数对这些整数进行分类。由此高斯提出了同余式的理论。

$m \div n = q \dots \dots r$

$n 称为模 (m o d u l u s)$
$q 称为商 (q u o t i e n t)$
$r 称为剩余 (r e s i d u e)$

同余式
当 a 除以 m 所得余数和 b除以 m 所得余数相同时，就将它们写成：

$a \equiv b (m o d m)$

同余式性质
当 $a \equiv b (m o d m)$ ， $c \equiv d (m o d m)$ 的时候

$a + c \equiv b + d (m o d m)$
$a - c \equiv b - d (m o d m)$
$a c \equiv b d (m o d m)$
$a^{n} \equiv b^{n} (m o d m)$

证明：

$a \div m = p \dots \dots r$ 可以表示成 $a = m p + r$

所以；

a = m p + r

b = m p^{'} + r

c = m q + s

d = m q^{'} + s

$p, p^{'}$ 是因为他们的商不一样。

代入计算即可验证性质。其中第四条性质可以看做是第三条性质的推广。

题目 4：假设数列 ${a_{n}}$ 的定义为：

a_{1} = 1, a_{2} = 1 \dots \dots a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n = 1, 2, 3 \dots \dots)

当 ${a_{n}}$ 为3的倍数的时候，求n的条件。
【大阪工业大学】

解：
对于递推式，多列出几项的结果，有助于寻找其中的规律。

项	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$a_{5}$	$a_{6}$	$a_{7}$	$a_{8}$	$a_{9}$	$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{12}$
数字	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
余数	1	1	2	0	2	2	1	0	1	1	2	0

根据之前的性质：

a + c \equiv b + d (m o d m)

递推方程式：

a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}

假设：

a_{n + 1} \equiv k (m o d 3)

a_{n} \equiv l (m o d 3)

可以得出：

a_{n + 2} \equiv a_{n + 1} + a_{n} \equiv k + l (m o d 3)

也就是说，第三项的余数是前两项余数之和 mod 3。

这样我们就明白了了。为什么图表所列的余数会是那样。

同时我们发现了规律，因为是 mod 3，余数只可能是 0， 1， 2。他们以8个间隔为规律，进行重复。

斐波那契数列	mod 1	mod 2	mod 3	mod 4	mod 5
循环间隔	1	3	8	6	19

所以：

a_{n} \equiv a_{n + 8} (m o d 3)

又因为 8 个间隔中 0 出现了两次，意味着这 2 个数被 3 整除了。

a_{4} \equiv a_{12} \equiv a_{20} \equiv \dots \dots \equiv 0 (m o d 3)

a_{8} \equiv a_{16} \equiv a_{24} \equiv \dots \dots \equiv 0 (m o d 3)

答：n 为 4 的倍数

这道题稍微有点难，但重点是，规律性和周期性是把握某些庞大的数字，无限数列，三角函数，n次方导数的很好的武器。

3.3 (解题思路3) 寻找对称性

3.3.1 几何图形的对称

题目 5：如下图所示，P为直线上一点。当AP+PB长度最短时，求P点的位置。

解：
两点之间直线距离最短。当我们找出 B 点关于直线的对称点B' 后，通过直角三角形的全等。可以将问题转化为 AP+PB‘ 长度最短，那画一条直线就好了。

如果你站在一面大镜子前。屋里漆黑一片。你拿着手电筒照向镜子，当你发现另一个人在镜子中被你照射到了，镜子外他也被照射到了。光沿直线传播。

3.3.2 对称式

对称式
调换未知数后，依旧和原先保持相等的多项式。

E.g. 在两个未知数的情况下，对称式有：

x + y, x y, x^{2} + y^{2}, x^{3} + y^{3}, \frac{x}{y} + \frac{y}{x}

我们将 $x + y$ 和 $x y$ 称为基本对称式。 在对称式中，有一个非常重要的性质，那就是，无论多么复杂的对称式，都可以转换成一个个基本对称式的组合。这个证明有些困难，这里不再证明。

x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y

x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)

\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{(x + y)^{2} - 2 x y}{x y}

题目 6： $a \neq b$ , 当 $a^{2} + \sqrt{2} b = \sqrt{3}, b^{2} + \sqrt{2} a = \sqrt{3}$ 的时候，求

\frac{a}{b} + \frac{b}{a}

的值【实践女子大学】

解：
我们首先想到可不可以分别求出 a b 的值，做一个等值替换。发现不太好做。

注意到，所求是一个对称式。可以转换成为基本对称式。所以我们只要求 $a + b$ 和 $a b$ 的值即可。

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{(a + b)^{2} - 2 a b}{a b}

充分利用题目所给的条件，可以得到更多有效信息。我们可以通过进行加减乘除的组合，来丰富题目条件所带来的信息。

做题时，如果题目中给出了 $a \neq b$ ，很可能就需要你吧等号两边同时除以 $a - b$ , 从而对方程式变形。

这道题用两项相加相减就足够了。

相加：

a^{2} + b^{2} + \sqrt{2} (a + b) = 2 \sqrt{3}

相减：

a^{2} - b^{2} - \sqrt{2} (a - b) = 0

答案已经呼之欲出！

计算的过程不重要，重要的是，如果我们发现所要求值的算是是一个对称式的话，就可以运用对称式的性质来计算。 方程式的解和系数的关系，也可以用到对称式的性质。

a x^{2} + b x + c = 0 Δ = b^{2} - 4 a c x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

3.3.3 相反方程式

方程式中系数的排列为左右对称的形式，我们称这样的方程式为相反方程式。只要将相反方程式的同系输的项进行并项，就能够降低未知数的次方。

题目 7：求 $x^{4} + 7 x^{3} + 14 x^{2} + 7 x + 1 = 0$ 的解。

解：
四次方程，其实是很难算解的，不过这个题就是一个相反方程式。所以可以进行同系数并项。降低次方。

1, 7, 14, 7, 1

(x^{4} + 1) + 7 (x^{3} + x) + 14 x^{2} = 0

我们仔细观察，发现解不可能是 0 ，所以方程两边同时除以 $x^{2}$

(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + 7 (x + \frac{1}{x}) + 14 = 0

(x + \frac{1}{x})^{2} - 2 + 7 (x + \frac{1}{x}) + 14 = 0

假设:

x + \frac{1}{x} = t

方程可以变为：

t^{2} + 7 t + 12 = 0

这是一个典型的十字相乘。接下来就好做了。

3.4 （解题思路4）逆向思维

作用：避开困难的地方，寻找新的切入点，找到解题的捷径。

例如：一个由扇形和一个不知名形状阴影图形组合而成的一个正方形，求不知名形状阴影图形的面积。

我们都知道正方形，和扇形的面积比较好算，因为都有公式，可以直接得出其面积。可出题人偏要让我们求不知名形状阴影图形的面积。

这就很难算了。按照正常的公式计算思路根本不太可能计算出来。

那我们避开困难的地方，换个切入点，仔细观察题目。发现：

正方形面积 = 扇形面积 + 不知名形状的面积
不知名形状的面积 = 正方形面积 - 扇形面积

结果一目了然。

逆向思维的要点就是打破常规的定式思维，定式思维在某些场合很有效率，不过有些时候反而会称为绊脚石！万物皆有两面性。

for me 上大学的时候，老师上课前常说，班长数人！班长就开始数，1，2，3....53, 54, 55。好吧数了半天！我们的大学教室只有60个座位，如果掌握了逆向思维就知道这是一个小幽默。😀

3.4.1 遇到至少如何就要“逆向思维”

题目 8: 在自然数的 3 位数中，至少含有 1 个 1 的数字，有多少个？

解：
满足至少含有 1 个 1 的数字，有三种情况。

含有 1 个 1 的数字
含有 2 个 1 的数字
含有 3 个 1 的数字

如果这个时候你开始算，那么你就输了.....

没错是可以算出来，不过情况有些出奇的复杂。

100 - 999 这 900 个数字对于含有 1 总计有 4 类情况！

不含 1 的数字 648个

含有 1 个 1 的数字 225个
含有 2 个 1 的数字 26个
含有 3 个 1 的数字 1个

900 个数字都在这 4 类里！或者说，每 1 个数字对应其中的 1 种情况。

那我们为什么不求不含 1 的所有数字呢，然后用900减一下呢？

这样就好算多了！

for me 至少什么什么，这种问题问出来就包含了一个容扩所有情况类别的集合，让你所求至少什么什么，会占据其中大部分的类别，那么它的对立面所包含的情况就会少很多。我们要的就是对立面，就是不按常理出牌，就是逆向思维。

同理，如果你是一个聪明人，别人让你怎么干，你就怎么干，那你就输了。至少要玩出一点花样来。这种花样会带给我们一些意想不到的好处！

3.4.2 反证法

反证法是验证方法中最具代表性的方法之一。

反证法

对于要证明的事物，先进行否定假设。

再从中找出自相矛盾的地方。

费马大定理

$x^{n} + y^{n} = z^{n}$
当 n 是 3 及 3 以上的自然数时，除了 0 之外，没有任何数能够满足这个方程式的 $(x, y, z)$

最终费马大定理由 Andrew Wiles 证明(1994年），用的正是反证法。不过复杂很多。

常用的例如无理数的证明，无限循环数列的证明都可以使用反证法。

证明某个数是无理数 (不可以用分数表示 E.g. $\sqrt{2}$ )：
假设该数字是有理数(可以用分数表示) -> 从中找出自相矛盾的地方。
证明某个数列是无限循环的：
假设该数列所包含的数字是有限的 -> 从中找出自相矛盾的地方。(这个方法有点不太对劲我感觉)

题目 9：证明 $\sqrt{2}$ 为无理数。（此题目可能为校对错误原书为 $\sqrt{3}$ 但证明的时候，两页纸都是证 $\sqrt{2}$ ）

证：

用反证法来证明此问题的原因有两个：

任何一个实数，它不是有理数，就是一个无理数。
无理数不能用分数表示，那我们就来证明不能

假设 $\sqrt{2}$ 是有理数， $\frac{a}{b}$ 是不可约分数。

\sqrt{2} = \frac{a}{b}

2 = \frac{a^{2}}{b^{2}}

b^{2} = 2 a^{2}

$b^{2}$ 是 2 的倍数，说明 $b^{2}$ 是偶数。又因为奇数的平方不会是偶数，所以 b 也是偶数。于是，给出一个整数 m，假设：

b = 2 m

带入：

2 m^{2} = a^{2}

所以a也是偶数，这与之前的假设，a b不可约分矛盾。

所以 $\sqrt{2}$ 是有理数的假设是错误的。

3.5 (解题思路5) 与其考虑相加, 不如考虑相乘

方程式是我们每个人都熟悉的数学式子。数学题里对于方程式的解法，几乎都要用到变换。例如十字相乘，合并同类项，因式分解，等种种变换！

为什么不直接算呢？为什么要进行变换呢？

目的只有一个：通过方程式的变换，我们可以得到更多信息，使其更容易求解！

不同的变形方式，所得到的信息也不一样，下面是根据3种变换所带来的信息量的排列。

由少及多

$A + B = 0$
$A \times B = 0$
$A^{2} + B^{2} = 0$

解析1：

A + B = 0

从这个方程式中我们能得到的信息是：

A = - B

A，B 可以为任意两个相反数：1 -1， 8 -8， 333 -333， 0 0. 具体是什么，我们也不清楚。因为存在无数种情况！

解析2：

A \times B = 0

从这个方程我们能得到的信息是：

A = 0 o r B = 0 o r A = B = 0

A，B 只有三种情况，这也是为什么我们解方程要进行因数分解，造成方程式为一个乘积。

十字相乘是一个利用相乘的好例子： $a x^{2} + b x + c = (a_{1} x + c_{1}) (a_{2} x + c_{2})$

解析3：

A^{2} + B^{2} = 0

从这个方程我们能得到的信息是：

A = B = 0

A，B 只有 1 种情况。不过此种情况在我们做题时，出现的较少。

例：

x^{2} + y^{2} - 4 x - 10 y = - 29

经过变换：

(x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 0

一般做圆形相关的题目时，这个方法发可以一试。若此方法不适用，那可能就很难算了。

3.5.1 不等式的证明

题目 10：证明当 $x > 1, y > 1$ 的时候, 不等式 $x y + 1 > x + y$

在数学中，未知数是大是小都不是实质性的问题，但是涉及到未知数的正负，零，等情况就有很大的差别，要特殊说明。

解：

根据题目所给信息进行一些变换，获得一些题目之外的信息。

x > 1, y > 1

x - 1 > 0, y - 1 > 0

后面我们突然发现，我们确实需要这个变形得到的信息。很惊喜！

对于所要证明的结论做出一定的变形。

x y + 1 > x + y

x y + 1 - x - y > 0

注意，这只是待证明的结论的变形，也就是我们转换了待证明的结论。

试一试因式分解吧，可不可能转变成两项相乘呢？

x y + 1 - x - y x (y - 1) - (y - 1) (x - 1) (y - 1)

题目前提：

x - 1 > 0, y - 1 > 0

待证明结论：

(x - 1) (y - 1) > 0

证明成功！

题目 11：求方程式 $a^{3} - b^{3} = 65$ 的所有整数解(a,b)

解：

(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = 1 \times 65 = 5 \times 13

{\begin{matrix} a - b = 1 \\ a^{2} + a b + b^{2} = 65 \end{matrix}

{\begin{matrix} a - b = 65 \\ a^{2} + a b + b^{2} = 1 \end{matrix}

{\begin{matrix} a - b = 5 \\ a^{2} + a b + b^{2} = 13 \end{matrix}

{\begin{matrix} a - b = 13 \\ a^{2} + a b + b^{2} = 5 \end{matrix}

有了这四个方程组，余下的解方程就好解了。1，2，4 没有实数解。3正好可以解出实数解。解方程要与图像联系起来才会更直观。

3.6 (解题思路6) 相对比较

作用：通过减法运算找出隐藏的性质。

for me 减，可以减掉相同的东西，而露出不同来。生活中很常用！一个人怎样才算出众？为什么黄金就比铁贵？世界的多彩正是因为各有差别，差别如何而来？靠的就是“减法”。 减法意味着比较，比较意味着多个元素。

若要确定光明，就得去寻找黑暗。

3.6.1 无限循环小数

题目 12：用分数表示无限循环小数 $0.147147147 \dots$

解：

这道题初解有一点困难，因为这只有一个数。而分数需要两个数。

那我们就创造一个数来作为比较者，这个比较者由这个无限循环产生，而又不是这个无限循环小数。这个比较者还要有原来的性质。

怎么做呢？答案是乘法(加法)！

设：

x = 0.147147147 \dots

1000 x = 147.147147147 \dots

我们看到小数点后是一样的。乘法过后，比较者也产生了无限循环的特质。

1000 x - x = 147 999 x = 147

3.6.2 差分数列

题目 13：在平面上有100条直线，没有任何两条直线互相平行，也没有任何3条直线有共同的交点。求平面上总共有多少个交点？

解：

这个题目最重要的是理解题意。如果你不理解可以去自己尝试着画出符合题目要求的图片。由简单到复杂。

我们发现，满足图片的直线。每多一条，多出来的那条直线就要与之前的所有直线相交。一个交点只能有两条线。

得出结论：

用未知数来归纳，假设平面上现在有直线 n 条，交点数目为 $a_{n}$ 个, 再增加一条直线，势必会与其他的 n 条相交，多出 n个交点。

a_{n + 1} = a_{n} + n

利用相对比较发现交点的规律:

交点数：

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21 \dots

相领两项之差；

1, 2, 3, 4, 5 \dots

第一百项(补齐每两项之间的差)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots + 99 = 4950

差也好，还是什么也好，是工具，是沿途的风景，终点则是找到规律。

3.7 (解题思路7) 归纳性思考实验

我们所学的绝大多数数学定理并不是一开始，就存在的。而是通过前人归纳性的思考过程，提出猜想，验证猜想从而得出来的。

3.7.1 数学归纳法

数学归纳法，是数学当中的论证方法之一，是用来证明有关自然数$$的问题的方法。

存在第一数学归纳法，第二数学归纳法。这里是第一数学归纳法。

第一数学归纳法步骤

证明：当 n=1 的时候命题成立。

证明：如果当 n=k 的时候命题成立，那么 n=k+1 的时候命题成立。

第一个证明是找到一个支撑点。第二个证明是支撑点的前后连接关系。

题目 14： $a_{1} = 3, a_{n + 1} = \frac{3 a_{n} - 4}{a_{n} - 1} (n = 1, 2, 3 \dots \dots)$ 求数列 $a_{n}$ 的通项。

解：
这种形式表示相邻两项之间关系的算式，叫做递推方程式。

我们将 1, 2 , 3 ..代入到题目中去，从而获得一些对于数列 $a_{n}$ 通项的猜想。

a_{1} = 3 a_{2} = \frac{3 a_{1} - 4}{a_{1} - 1} = \frac{5}{2} a_{3} = \frac{7}{3} a_{4} = \frac{9}{4} a_{5} = \frac{11}{5}

经过一番思考，我们得到一个直观的猜想，注意这只是猜想，而并没有证明来支持这个猜想是对的。迄今为止，我们只知道，这个猜想对于 $a_{5}$ 以下的项成立，不过万一 $a_{6}$ 不成立呢？

a_{n} = \frac{2 n +}{n}

迄今为止，我们只知道，这个猜想对于 $a_{5}$ 以下的项成立，不过万一 $a_{6}$ 不成立呢？ 所以我们需要一个证明，证明猜想的正确性，这个方法就是 数学归纳法！

1.当 $n = 1$ 时

a_{1} = 3 = \frac{3}{1}

这是正确的。

2.假设当 $n = k$ 时

a_{k} = \frac{2 k + 1}{k}

成立，那么

a_{k + 1} = \frac{3 a_{k} - 4}{a_{k} - 1} = \frac{3 \times \frac{2 k + 1}{k} - 4}{\frac{2 k + 1}{k} - 1} = \frac{2 k + 3}{k + 1}

要点就是，实际的东西同猜想相等就算证明成功。

1是由猜想到实际的证明，2是在假设的前提下由实际到猜想的证明。

3.8 (解题思路8) 数学问题图像化

这块作者介绍了复杂的方程求解转变成图像交点问题后，变得十分简单。数列极限问题的图像化解法，这里有一个高明的地方是，把递推公式转变为方程，再画出来。前一项 x 后一项 y 之间可以用 $y = x$ 这条直线将 y 映射到 x 轴上。

for me：任何时候，将一个数学问题图像化，微积分，线性代数矩阵，机器学习的梯度下降，都会给我们带来直观，直觉上的理解。这种感觉是很棒的。

3.9 (解题思路9) 等值替换

等值替换的精髓就是 必要条件，充分条件

P \Rightarrow Q T u r e

Q \Rightarrow P F a l s e

就拿书上的例子说。住在千叶代区可以推论出住在东京，而住在东京却推论不出住在千叶代区。

我们称

{\begin{matrix} P 是 Q 的 充 分 条 件 \\ Q 是 P 的 必 要 条 件 \end{matrix}

范围小的是充分条件，范围大的是必要条件。

充分必要条件(等值)

P \Leftrightarrow Q

无论是从P推Q，还是从Q推P，都可以推出来。两方面都成立。或者说两者都是一个意思。

这个时候P和Q可以相互替换我们称之为等值替换。

3.8.1 等值替换之方程式

x^{2} + 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow (x + 1) (x + 2) = 0

我们其实常常使用等值替换，但是等值替换要注意 “等值”

比如用一个新的未知数置换方程式中的某一项，要考虑到这个新未知数的取值范围，这是很显然的。新未知数的取值范围要同被替换的方程式的取值范围一致。否则就不能叫做等值替换。

题目 15：求解 $x - 2 = \sqrt{x}$

解：

将方程式两边同时乘以对应的平方。

(x - 2)^{2} = x (x - 1) (x - 4) = 0 x = 1 o r x = 4

如果我们稍稍验证结果，就会发现 $x = 1$ 是错误的。

为什么呢？因为两边同时乘对应的平方后，同之前并不是等值替换！

A = B \Rightarrow A^{2} = B^{2} T u r e

A^{2} = B^{2} \Rightarrow A = B F a l s e

这里 $A^{2} = B^{2}$ 是必要条件(范围大)， $A = B$ 是充分条件(范围小)。根据必要条件得出的结论适用于必要条件(全集)并不一定适用于充分条件(子集)，也就是我们得到了一个包含正确答案的大的集合。

虽然这是一个非等值替换，但也不是不可以。我们只需要将结果验证，将属于充分条件的结果选出来，这样就没有问题了。

3.10 (解题思路10) 从终点追溯原点

作用：常用于证明题

很多人都不会做证明题，因为似乎答案也没有一个标准。实际上，证明题是没有固定的答题形式，只要你写出来的东西能够让人看懂。证明的形式可以根据自己的喜好来。

当我们找不到证明的头绪时，不妨看一看题目中给出的结论。不妨通过终点来追溯，想一想结论的前一步是什么。

题目 16：当 a>0, b>0时，证明：

\frac{a + b}{2} ⩾ \sqrt{a b}

从结论处入手 前推一步

a + b ⩾ 2 \sqrt{a b}

再上一步

a + b - 2 \sqrt{a b} ⩾ 0

考虑是不是可以变将左式成平方项

()^{2} ⩾ 0 ?

我们需要一点数学的直觉！根据这个式子，我们可以替换 $a, b$ 为 $\sqrt{a}, \sqrt{b}$

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} (\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} = a - 2 \sqrt{a b} + b

好了，这回反着写就证明了！

for me 反着来想确实会比正着来想某些时候简单一点。这似乎与相加相乘那里很像！ 缩减范围

第4部解题方法综合应用。

这里有四道题，都挺难的。类似高考倒数压轴题，不那么简单。这里就不再写了。

怎么综合应用解题方法是一个综合性的问题，需要各种方法之间的配合，需要长时间的联系，以及对于数学的感觉。

1. 降低次方和次元

拉格朗日定理
三角函数半角公式
三角函数乘法公式和加法公式
空间向量
三角函数的积分
部分积分
凯莱-哈密尔顿定理

2. 寻找周期和规律性

三角函数图像
递推公式
n次导函数
部分积分
行列的n次方

3. 寻找对称性

解和系数的关系
3次函数的图像
偶函数和奇函数的积分

4. 逆向思维

对数
积分
反函数
反行列

5. 相加变相乘

等式，不等式的证明
式变形

6. 相对比较

差分数列
递推公式
向量的分解

7. 归纳性思考实验

数学归纳法
分数递推公式
整数问题

说数学分两类人，一类给看数字就行了，一类给看图片就行了。

8. 图像化

轨迹和领域
三角方程式，三角不等式
函数的趋向，极限，图像
定积分和面积
函数的最大最小值
向量的内部乘积
向量的方程式
数列的极限
中间值定理
平均值定理
极限坐标和机芯啊方程式

9. 等值替换

恒等式
等式，不等式的证明
三角方程式
指数方程式
对数方程式

10. 通过终点追溯原点

所有的证明题

结语

9.21-10.04
今天终于把笔记完成了，也做复习一遍。看书真的比做笔记简单多了。

最近在找数学分析方面的教科书，翻到北京某高校数学系老师的一个荐书视频，特别好玩的是，老师说，数学就是正面干！当时我听得直接气血翻涌，一股豪气升腾而上，至此对数学五体投地，无论生老病死，贫穷还是富有，就正面干了！喜欢就要无所畏惧！可担忧的就是自学没有氛围，没有求解之路。当初学舒幼生老师的力学便是没想明白一个问题就放弃了...... 不知道是社么心态😶。

北京某高校清华
北京某大学北大

有没有很😵

posted @ 2021-09-23 20:10 Dba_sys 阅读(671) 评论(0) 编辑收藏举报

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