数据结构——5、树——5、图

2.3图
2.3.1图的概念
究竟什么是图呢？大家先来想一想咱们常用的互联网产品。
微信中，许许多多的用户组成了一个多对多的朋友关系网，这个关系网就是数据结构当中的图（Graph）。

再举一个栗子，咱们在用百度地图的时候，常常会使用导航功能。比如你在地铁站A附近，你想去的地点在地铁站F附近，那么导航会告诉你一个最佳的地铁线路换乘方案。

这许许多多地铁站所组成的交通网络，也可以认为是数据结构当中的图。

图，是一种比树更为复杂的数据结构。树的节点之间是一对多的关系，并且存在父与子的层级划分；而图的顶点（注意，这里不叫节点）之间是多对多的关系，并且所有顶点都是平等的，无所谓谁是父谁是子。

2.3.2图的基本术语：

在图中，最基本的单元是顶点（vertex），相当于树中的节点。顶点之间的关联关系，被称为边（edge）。

在有些图中，每一条边并不是完全等同的。比如刚才地铁线路的例子，从A站到B站的距离是3公里，从B站到C站的距离是5公里......这样就引入一个新概念：边的权重（Weight）。涉及到权重的图，被称为带权图（Weighted Graph）。

还有一种图，顶点之间的关联并不是完全对称的。还拿微信来举例，你的好友列表里有我，但我的好友列表里未必有你。
这样一来，顶点之间的边就有了方向的区分，这种带有方向的图被称为有向图。

相应的，在QQ当中，只要我把你从好友里删除，你在自己的好友列表里也就看不到我了。（貌似是这样）

因此，QQ的好友关系可以认为是一个没有方向区分的图，这种图被称为无向图。
2.3.3内存中存储图
图在内存中存储的方式有很多种，如邻接矩阵、邻接表、逆邻接表、十字链表
2.3.3.1邻接矩阵
拥有n个顶点的图，它所包含的连接数量最多是n（n-1）个（考虑方向，则是n(n-1)/2，不考虑方向，则是n(n-1)）。
因此，要表达各个顶点之间的关联关系，最清晰易懂的方式是使用二维数组（矩阵）。

具体如何表示呢？我们首先来看看无向图的矩阵表示：

如图所示，
顶点0和顶点1之间有边关联，那么矩阵中的元素A[0][1]与A[1][0]的值就是1；
顶点1和顶点2之间没有边关联，那么矩阵中的元素A[1][2]与A[2][1]的值就是0。
像这样表达图中顶点关联关系的矩阵，就叫做邻接矩阵。

需要注意的是，矩阵中的从左上到右下，这一条对角线，其上的元素值必然是0。这样很容易想明白：任何一个顶点与它自身是没有连接的。
同时，无向图对应的矩阵是一个对称矩阵，V0和V1有关联，那么V1和V0也必定有关联，因此A[0][1]和A[1][0]的值一定相等。

那么，有向图的邻接矩阵又是什么样子呢？

从图中可以看出，
有向图不再是一个对称矩阵。从V0可以到达V1，从V1却未必能到达V0，因此A[0][1]和A[1][0]的值不一定相等。

邻接矩阵的优点是什么呢？
简单直观，可以快速查到一个顶点和另一顶点之间的关联关系。

邻接矩阵的缺点是什么呢？
占用了太多的空间。
试想，如果一个图有1000个顶点，其中只有10个顶点之间有关联（这种情况叫做稀疏图），却不得不建立一个1000X1000的二维数组，实在太浪费了。
2.3.3.2邻接表和逆邻接表
为了解决邻接矩阵占用空间的问题，人们想到了另一种图的表示方法：邻接表。

在邻接表中，图的每一个顶点都是一个链表的头节点，其后连接着该顶点能够直接达到的相邻顶点。
很明显，这种邻接表的存储方式，占用的空间比邻接矩阵要小得多。

要想查出从顶点0能否到达顶点1，该怎么做呢？
很简单，我们从顶点0开始，顺着链表的头节点向后遍历，看看后继的节点中是否存在顶点1。
要想查出顶点0能够到达的所有相邻节点，也很简单，
从顶点0向后的所有链表节点，就是顶点0能到达的相邻节点。

那么，要想查出有哪些节点能一步到达顶点1，又该怎么做呢？
这样就麻烦一些了，我们要遍历每一个顶点所在的链表，看看链表节点中是否包含节点1，最后发现顶点0和顶点3可以到达顶点1。
像这种逆向查找的麻烦，该如何解决呢？我们可以是用逆邻接表来解决。

逆邻接表顾名思义，和邻接表是正好相反的。逆邻接表每一个顶点作为链表的头节点，后继节点所存储的是能够直接达到该顶点的相邻顶点。

这样一来，要想查出有哪些节点能一步到达顶点1就容易了，从顶点1向后的所有链表节点，就是能一步到达顶点1的节点。

因此，我们可以根据实际需求，选择使用邻接表还是逆邻接表。
2.3.3.3十字链表
这样一来，一张图需要维护正反两个邻接表，可以直接使用十字链表，该表将邻接表和逆邻接表结合在了一起

如图所示，
十字链表的每一个顶点，都是两个链表的根节点，
其中一个链表存储着该顶点能到达的相邻顶点，
另一个链表存储着能到达该顶点的相邻节点。

不过，上图只是一个便于理解的示意图，我们没有必要把链表的节点都重复存储两次。在优化之后的十字链表中，链表的每一个节点不再是顶点，而是一条边，里面包含起止顶点的下标。
十字链表节点和边的对应关系，如下图所示：

优化后的图中：
每一条带有蓝色箭头的链表，存储着从顶点出发的边；
每一条带有橙色箭头的链表，存储着进入顶点的边。
初学十字链表的时候，可能会觉得有些乱。

2.3.4总结
1.我们这一次介绍了图的定义和分类。根据图的边是否有方向，可分为有向图和无向图。根据图的边是否有权重，可分为带权图和无权图。当然，也可以把两个维度结合起来描述，比如有向带权图，无向无权图等等。

2.图的表示方法有很多种。包括邻接矩阵、邻接表、逆邻接表、十字链表。（还有一种邻接多重表，有兴趣的小伙伴可以自学下）