树形dp（背包）

目录

• 树形dp以及树形背包
  • 树形dp
  • 样题： 没有上司的舞会
    • 题目描述
    • 输入格式
    • 输出格式
    • 样例 #1
      • 样例输入 #1
      • 样例输出 #1
    • 数据规模与约定
  • 分析
  • 树形背包

树形dp以及树形背包

树形dp

样题： 没有上司的舞会

https://www.luogu.com.cn/problem/P1352

题目描述

某大学有 \(n\) 个职员，编号为 \(1\ldots n\)。

他们之间有从属关系，也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树，父结点就是子结点的直接上司。

现在有个周年庆宴会，宴会每邀请来一个职员都会增加一定的快乐指数 \(r_i\)，但是呢，如果某个职员的直接上司来参加舞会了，那么这个职员就无论如何也不肯来参加舞会了。

所以，请你编程计算，邀请哪些职员可以使快乐指数最大，求最大的快乐指数。

输入格式

输入的第一行是一个整数 \(n\)。

第 \(2\) 到第 \((n + 1)\) 行，每行一个整数，第 \((i+1)\) 行的整数表示 \(i\) 号职员的快乐指数 \(r_i\)。

第 \((n + 2)\) 到第 \(2n\) 行，每行输入一对整数 \(l, k\)，代表 \(k\) 是 \(l\) 的直接上司。

输出格式

输出一行一个整数代表最大的快乐指数。

样例 #1

样例输入 #1

7
1
1
1
1
1
1
1
1 3
2 3
6 4
7 4
4 5
3 5

样例输出 #1

5

数据规模与约定

对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(1\leq n \leq 6 \times 10^3\)，\(-128 \leq r_i\leq 127\)，\(1 \leq l, k \leq n\)，且给出的关系一定是一棵树。

分析

首先用邻接表建立一棵树，然后再确定root根节点
记数组f[i][j]为以i为根的树，j表示选与不选
状态转移方程为：

f[x][0]=0;
f[x][1]=a[x];//为了简便运算，在循环之前先加上自己的快乐值
……
f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
f[x][1]+=f[y][0];

当该树不选择时，其最大快乐值即为所有子树选择与不选择的最大值；
当该树被选择时，根据题意，其所有子树都不能被选择，则快乐值即为所有子树不选之和加上自己的快乐值
全部代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[6001],v[6001],r,f[6001][2];
vector<int>tree[6001];
void dp(int x){
	f[x][0]=0;
	f[x][1]=a[x];
	for(int i=0;i<tree[x].size();i++){
		int y=tree[x][i];
		dp(y);
		f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
		f[x][1]+=f[y][0];
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		tree[y].push_back(x);
		v[x]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!v[i]){
			r=i;
			break;
		}
	}
	dp(r);
	cout<<max(f[r][0],f[r][1]);
}

树形背包

树上背包，顾名思义，就是在树上做背包问题。一个节点的若干子树可以看作是若干组背包，也就是用树形dp的方式做分组背包问题。一般来说，f ( i , j ) 表示以 i 为根的子树中，在 j 的容量范围内，最大或者最小可以获得多少收益。根据分组背包的思想，第一维枚举物品（在树上指的是子树），第二维枚举容量，第三维枚举决策（这里指的是给子树分配多少容量）。基本的代码框架如下：

常用代码：

void dp(int x,int fa){
	for(int i=0;i<tree[x].size();i++){
		int y=tree[x][i];//子树
		if(y==fa)continue;
		dp(y,x);
		for(int j=n;j>=0;j--){//枚举总的体积
			for(int k=0;k<=j;k++){//枚举给子树的体积
				f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[y][k]+1);
			}
		}
	}
}