数据结构与算法 - 红黑树：插入操作的分析
在上一篇文章<红黑树：开篇>中，我们了解了红黑树的性质，约定了一些术语，以及定义了一些辅助函数。在本文中，我们要分析红黑树在插入一个结点的所有可能性，以及插入结点后，要经过哪些变化才能让红黑树重新回到平衡状态。
直接放结论，红黑树平衡的复杂处主要出现在父结点是红色，叔结点不是红色的这种情况。所有的场景，以及对应的平衡操作如下图。
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红黑树：插入操作的分析（本文）
查找
插入操作包括两步：先查找插入的位置，插入结点后再重新平衡树。我们只需要先找到插入位置，然后将其父结点返回即可，和普通平衡二叉树的查找步骤类似，直接看下图：
找到插入点的位置后，将插入结点挂载到正确位置就可以了，而结点有红色和黑色，新插入的结点需要什么颜色呢？如果为了最小代价，应该插入一个红色的结点。
如下图所示，根据性质 5（任意结点到每个子结点的路径都包含数量相同的黑结点），一个红色的新结点，会有更小的插入（平衡）代价：
插入
根据树的结点数量不同，会有很多种不同的插入情况，我们需要一一分析，找出每种情况需要哪些操作才能重新让红黑树回到平衡状态。
从上面查找结点位置的路径图，就可以看出两种插入场景：
根结点为空：直接把新的结点作为根结点，并根据性质2，将结点涂黑（这是唯一一种新结点为黑色的情况）
插入结点已存在：更新当前结点的值，不做其他改动
插入场景肯定不止这些，我们可以根据新结点的颜色、红黑树的特性，一步步推导出所有的插入场景。
一个新的红色结点不会影响红黑树的前三种特性，我们看性质4（每个红色结点的两个子结点一定都是黑色）。由于新结点是红色的，如果父结点也是红色的，那么这样就导致性质 4 失效。那么父结点的颜色不同，也会导致出现不同的插入场景。
那么如果父结点是黑色，性质 4 不会失效，性质 5 也依旧成立，我们可以直接插入，不做任何改动：
- 如果父结点是黑色结点：直接插入，不做其他改动
我们已经把条件缩小到父结点为红色结点，继续分析。如果父结点为红色结点，那么根据性质 4，插入结点的兄弟结点也是黑结点。插入新的红色结点后，会导致红色父结点违反了性质 4，只需要
- 父结点为红色：将父结点的颜色改为黑色（未完）
就又重新符合了红黑树的性质。但是把父结点颜色变为黑色后，就会导致新的问题：
如上图所示，父结点变色，会导致祖父结点这条子树不符合红黑树的性质 5（任意一结点到每个子结点的路径都包含数量相同的黑结点）。要重新让树恢复平衡，只能做一件事，让叔结点路径的黑结点数量+1。既然关系到叔结点路径，那么就需要先判断叔结点的状态，再对阵下药。
前面父结点做操作，只判断了父结点的颜色，默认规定了父结点是存在的（如果父结点不存在，那么新结点的位置就是根结点）。而叔结点则不一定存在，那么就有 3 种情景：
- 叔结点是红色的；
- 叔结点是黑色的；
- 叔结点不存在（空结点 Nil）；
其中第二种和第三种其实是一样的，毕竟空结点也有颜色（黑色）。
叔结点是红色的
我们先分析叔结点是红色的这一种情况：
我们的问题：叔路径比父路径的黑色结点少 1，那么我们直接把叔结点涂黑，就解决了这个问题。
4.1. 父结点为红色，叔结点也为红色：将父结点和叔结点的颜色改为黑色（未完）
涂色后的情况变成了下图：
这样，我们就做到了让叔结点路径的黑结点数量+1，但是出现了一个问题，祖父结点这条子树的任一路径上的黑结点数量都+1，可能会导致祖父结点以上的树出现不符合性质 5 的情况，那我们直接将祖父结点涂为红色。
4.1. 父结点为红色，叔结点也为红色：将父、叔结点颜色改为黑色，祖父结点颜色改为红色（未完）
以上操作，做到了：
- 插入新结点；
- 保证自父结点出发的路径上，黑色结点数量不变；
- 保证父路径和叔路径上的黑色结点数量相同；
- 保证祖父路径上的黑色结点数量，与插入结点前的数量相同。
但是： 祖父结点由黑变红，就会导致一个问题，以祖父结点为基础，再继续向上的树是否还是平衡的？
我们可以参考下图，了解在整个变化过程中，当前结点和祖父结点的状态变化。
看新结点：新结点的插入，将原本的一个黑色结点，替换成了一个红色结点，且这个红色结点的两个子路径拥有相同的黑结点数量，而且在结点替换前后，以结点之下的所有路径，黑色结点的数量保持不变。
看祖父结点：祖父结点的变化就好像是我们在祖父结点的位置，“插入”了一个新的结点，用来替换祖父。那么对于祖父结点向上的树，可以递归的进行变色处理，直到整棵树重新平衡。
那么我们终于可以结束这条 4.1 分支了。把这条分支的所有操作都列出来，和前面的几个分支放在一起：
1 根结点为空：直接把新的结点作为根结点，且涂黑；
2 插入结点已存在：更新当前结点的值，不做其他改动；
3 如果父结点是黑色结点：直接插入，不做其他改动；
4.1 如果父结点是红色结点，且叔结点也是红色结点：把父、叔结点都涂黑，祖父结点涂红，然后以祖父结点为当前结点，重新进行平衡操作；
4.2 如果父结点是红色结点，当叔结点是黑色结点：（未推导）
叔结点为黑色
性质4：每个红色结点的两个子结点一定都是黑色（一个结点如果包含一个红色子结点，那么它一定不是红色）
性质5：任意一结点到每个子结点的路径都包含数量相同的黑结点
如果叔结点是红色的，我们可以直接把叔结点变成黑色，做到父、叔路径的黑色结点数重新相等。但是叔结点如果不存在或为黑色，就不能直接这么做，需要另外的方法。
如上图所示，我们插入新结点后（状态2），为了保持父结点符合性质4，需要进行涂色（状态3）。对比涂色前后的状态，就好像是父结点和祖父结点的颜色互换，这导致最终结果不符合性质 5。
如果要符合性质 5，又必须把这两个结点的颜色换回来，这自然是让我们前面的努力白费。不过有句话说的好：“山不过来，我就过去”。我们直接把父结点和祖父结点的位置互换，这样结点颜色就符合性质 5 的要求。
要做到结点位置互换，且依旧保证这棵树满足平衡二叉树的要求，那么就只有一类操作：“旋转”。
平衡二叉树中的旋转，分为左旋和右旋。旋转可以调整结点与子结点的位置关系。
从上图可以看到，某个结点的旋转，会影响到其子代结点和孙代结点的位置。（图中X点左旋，影响了子代Y以及孙代B）
那么回到我们的问题，我们要调整父结点和祖父结点的位置，那就需要让祖父结点进行左旋/右旋，但是具体要哪个操作，需要根据他们之间的位置，做不同的旋转。
父结点是左子结点
4.2 父结点是红色、且叔结点为黑色或空结点、且父结点是左子结点：父结点涂黑，祖父结点涂红（未完）
父结点是左子结点，那么想要互换位置，则需要祖父结点进行右旋，但是问题来了，右旋可以将左子结点提上来。但是，左子结点的右子树会被挂在原结点的左子树上，这会不会影响到原先的颜色平衡呢？
按照上图的情况所示，当父结点是左子结点时，如果插入结点也是左子结点（A），那么整棵树重回平衡。但如果插入结点是右子结点时，祖父结点又出了问题。不过我们先归纳下前面那种情况：
4.2.1 父结点是红色，叔结点是黑色，父结点是左子结点，插入结点是左子结点：将父结点涂黑，祖父结点涂红，然后将祖父结点右旋。
现在我们探讨第二种情况：插入结点是右子结点。
结点颜色情况如下：父结点是黑色，插入结点为右红结点，兄弟结点为左黑结点（空结点）。如果我们能将父结点的两个子结点颜色互换，那就可以回到 4.2.1 的场景，如下图
前面我们将祖父结点右旋，做到了祖父结点和父结点的颜色互换，那么这里我们或许也可以使用旋转来做到。兄弟结点是不固定的，那么我们就单纯针对父结点和插入结点。
插入结点作为右子结点，那么就需要父结点进行左旋，来互换他们的位置，然后再遵守性质4，将颜色变为平衡的颜色。这样，4.2.2 的场景就变成了 4.2.1 的场景，那么只要将 4.2.1 的步骤再执行一次，就可以将红黑树恢复平衡。如下图
4.2.2 父结点是红色，叔结点是黑色，父结点是左子结点，插入结点是右子结点：将父结点涂黑，祖父结点涂红，将父结点左旋，父结点涂红，插入结点涂黑，将祖父结点右旋。
这里的操作步骤中，父结点涂黑又涂红，插入结点设置成红色后又涂黑，我们仔细观察 4.2.2 场景的不同状态，可以将操作减少。
将简略版的 4.2.2 步骤写下来，那就是这样的：
4.2.2 父结点是红色，叔结点是黑色，父结点是左子结点，插入结点是右子结点：父结点左旋，将父结点设置为当前结点，切换到 4.2.1 场景的操作
终于，我们把父结点是左子结点的场景也罗列出来，并给出平衡方案。那么如果父结点是右子结点呢？左子结点和右子结点作为对称的两个结点，只要把前者的操作进行左右镜像后，就变成了后者的操作步骤，这里可以自行推导。
总结
以上，就是红黑树插入结点后的平衡步骤分析，将其绘制成一个思维导图
