Sicily-1153 解题报告

一．原题中文大意。

1      2       3      4       5      6         7     8

9     10       11    12      13     14       15    16

17    18      19    20       21    22       23    24

25    26      27    28       29    30       31    32

33    34      35    36       37    38       39    40

41    42      43    44       45    46       47    48

49    50      51    52       53    54       55    56

57    58      59    60       61    62       63    64

在这样的8x8的棋盘上任选一个起点，然后模仿象棋里面马的移动规则，只能走“日”字。如果在一个起点开始，走完63步之后能够遍历完，除了起点的其余63个点得话，这次马的周游算成功，然后输出这次周游的路径，就是按马经过的顺序将这64个点输出为一行。

二．算法思想及解题用到的主要数据结构

算法思想与1152另外一道5x5的马的周游问题基本相同，用的是回溯算法的思想，从第一步开始，每次枚举下一步可以移动的位置，然后按一定的顺序选择下一个位置，然后在下一个位置同样递归这个步骤，直到遍历棋盘上的所有的点，该次周游成功，输出路径；或者还没有遍历所有的点就无路可走了，该次周游失败，不输出任何信息。

其实就是简单的深度优先搜索，尽快找到一条满足条件的路径就算完成任务了。与深度优先搜索匹配的数据结构是栈，根据栈先进后出的特性，可以很好地模拟路径回溯搜索的过程。所以用到了一个有64个元素的一维数组记录路径，再用一个长度为64的一维数组记录每个节点的状态，还有两个长度为8的一位数组用于成对存储一个节点的8个相邻位置。不过由于这道题数据量较大，如果每一次都同等地遍历8个邻接位置会超时，所以要用启发式剪枝，记忆搜索。对每个位置的邻接位置按邻接位的个数进行排序，邻接位的个数越少的位置优先级越高，先走那个最没前途的点，这样会更快，因为它这么没前途，要从其它点到达它就更难了，所以先走。

三．详细解题思路

（1）   输入一个源点，计算出源点的横坐标和纵坐标，然后在一个8x8的棋盘（二维数组）上进行深度优先搜索。

（2）   初始化路径数组和状态数组，首先把源点添加到路径数组（栈）并把源点的状态标识为已经遍历过。

（3）   进入到启发式的深度优先搜索，先把源点当做搜索的起点。计算起点的可走邻接点，然后将这些邻接点进行排序，遍历邻接点数目最少的点。把该点添加到路径数组（栈）并把该点的状态标识为已经遍历过。

（4）   以这个点作为起点重复第（3）步，直到找到一条满足条件的周游路径。

四．逐步求精算法描述

1. 五个个全局变量数组：

int moveX[8] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};

int moveY[8] = {2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2};

//  以逆时针方向记录下一步可能的8各方向

bool isVisited[64];

//  布尔数组记录每个节点的状态，是否已经遍历过了

int path[64];

//记录具体经过节点的路径

point adjacent[8];

//存储每个节点的可走邻接点

  2. 存储节点的数据结构：

//节点有2个属性：节点的横坐标、纵坐标

typedef struct

{

    int x;

    int y;

}point;

3. 计算并存储当前节点可以走到得邻接节点数组还有数目：

      int addNextPosition(point aPoint)

int countNextPosition(point aPoint)

4. 进行启发式搜索时用到的评价函数：

bool compare(point left, point right)

5. 进行启发式深度优先搜索：

void dfs(point startPoint)

五．程序注释清单

 

//
//  main.cpp
//  Sicily-1153 回溯算法 启发式剪枝
//
//  Created by ashley on 14-10-21.
//  Copyright (c) 2014年 ashley. All rights reserved.
//

#include <iostream>
#include <utility>
#include <algorithm>
using namespace std;

//用两个长度为8的一维数组来记录当前节点到其8个邻接点的坐标变换
int moveX[8] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};
int moveY[8] = {2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2};
//布尔数组记录每个节点的状态，是否已经遍历过了
bool isVisited[64];
//记录具体路径
int path[64];
int counter;
bool success;
//用来存储每个节点的横坐标和纵坐标
typedef struct
{
    int x;
    int y;
}point;
//存储每个节点的可走邻接点
point adjacent[8];

//计算每个节点的可走邻接点
int addNextPosition(point aPoint)
{
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < 8; i++) {
        point newPoint = {aPoint.x + moveX[i], aPoint.y + moveY[i]};
        int number = newPoint.y * 8 + newPoint.x + 1;
        
        if (newPoint.x < 8 && newPoint.x >= 0 && newPoint.y < 8 && newPoint.y >= 0 && isVisited[number - 1] == false) {
            adjacent[sum++] = newPoint;
        }
    }
    return sum;
}

//计算一个节点可走邻接点的数目
int countNextPosition(point aPoint)
{
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < 8; i++) {
        point newPoint = {aPoint.x + moveX[i], aPoint.y + moveY[i]};
        int number = newPoint.y * 8 + newPoint.x + 1;
        if (newPoint.x < 8 && newPoint.x >= 0 && newPoint.y < 8 && newPoint.y >= 0 && isVisited[number - 1] == false) {
            sum++;
        }
    }
    return sum;
}

//对邻接点节点按优先级排序的时候用到的比较函数，可走邻接点数越少的节点优先级越高
bool compare(point left, point right)
{
    return countNextPosition(left) < countNextPosition(right);
}

//启发式深度优先搜索
void dfs(point startPoint)
{
    if (counter == 64) {
        success = true;
        cout << path[0];
        for (int i = 1; i < 64; i++) {
            cout << " " << path[i];
        }
        cout << endl;
        return;
    }
    int key = addNextPosition(startPoint);
    //将邻接点排序
    sort(adjacent, adjacent + key, compare);
    for (int i = 0; i < key; i++) {
        point choicePoint = adjacent[i];
        int num = choicePoint.y * 8 + choicePoint.x + 1;
        isVisited[num - 1] = true;
        path[counter] = num;
        counter++;
        //判断搜索是否成功
        if (success) {
            return;
        }
        dfs(choicePoint);
        //回溯
        isVisited[num - 1] = false;
        counter--;
    }
}
int main(int argc, const char * argv[])
{
    int source;
    while (cin >> source) {
        if (source == -1) {
            break;
        }
        //计算源点的横坐标和纵坐标
        point sourcePoint = {(source - 1) % 8, (source - 1) / 8};
        for (int i = 0; i < 64; i++) {
            isVisited[i] = false;
        }
        success = false;
        counter = 1;
        //源点只能走一次
        isVisited[source - 1] = true;
        path[counter - 1] = source;
        dfs(sourcePoint);
    }
    return 0;
}

 

六．测试数据（5-10组有梯度的测试数据,要考虑边界条件）

  A. 一般数据

（1）10

10 4 14 8 23 40 55 61 51 57 42 25 19 2 17 34 49 59 53 63 48 31 16 6 12 29 46 56 62 52 58 41 35 50 60 45 39 24 7 13 3 9 26 36 30 20 5 15 32 22 28 38 21 11 1 18 33 43 37 47 64 54 44 27

（2）26

26 9 3 13 7 24 14 8 23 40 55 61 51 57 42 59 49 34 17 2 19 4 10 25 35 41 58 52 62 56 39 29 46 63 48 31 16 6 12 18 1 11 5 20 30 15 32 22 28 45 60 50 33 43 53 36 21 38 44 27 37 54 64 47

    （3）27

27 10 4 14 8 23 40 55 61 51 57 42 25 19 2 17 34 49 59 44 50 33 18 1 11 5 15 32 38 48 63 53 47 64 54 60 43 58 41 26 9 3 20 37 31 16 6 21 36 46 56 62 52 35 29 12 22 39 24 7 13 30 45 28

    （4）38

38 55 40 23 8 14 24 7 13 3 9 26 41 58 52 62 56 39 29 46 63 48 31 16 6 12 2 17 11 1 18 33 50 60 54 64 47 32 15 5 22 28 45 30 20 35 25 10 4 21 27 37 43 53 36 19 34 49 59 44 61 51 57 42

  边界数据

    （5）25

25 10 4 14 8 23 40 55 61 51 57 42 59 49 34 17 2 19 9 3 13 7 24 30 15 32 47 64 54 48 63 53 38 44 50 60 45 62 56 39 29 46 36 21 31 16 6 12 27 33 18 1 11 28 22 5 20 37 43 26 41 58 52 35

    （6）32

32 15 5 11 1 18 3 9 26 41 58 52 62 56 39 24 7 13 30 47 64 54 48 63 53 59 49 43 60 50 33 27 17 2 12 22 16 6 23 8 14 31 37 20 10 4 21 38 28 45 55 40 46 61 44 29 35 25 42 57 51 36 19 34

    （7）1

1 18 3 9 26 41 58 52 62 56 39 24 7 13 23 8 14 4 10 25 42 57 51 61 55 40 46 63 48 31 16 6 12 2 19 29 35 45 60 50 33 43 49 59 53 36 30 20 5 15 32 22 28 38 21 11 17 34 44 27 37 54 64 47

    （8）8

8 14 24 7 13 3 9 26 41 58 52 62 56 39 54 64 47 32 15 5 22 16 6 23 40 30 20 37 31 48 63 46 61 55 38 53 59 49 43 60 45 28 11 1 18 33 50 35 29 12 2 17 34 44 27 21 4 10 25 19 36 42 57 51

    （9）64

64 47 32 15 5 11 1 18 3 9 26 41 58 52 62 56 39 24 7 13 30 40 55 61 46 63 48 54 60 45 51 57 42 59 49 43 53 36 21 38 28 22 16 6 23 8 14 31 37 20 10 4 19 25 35 29 12 2 17 34 44 27 33 50

 

七．对时间复杂度，空间复杂度方面的分析、估算及程序优化的分析和改进

 一般的深度优先的时间复杂度是O（n²）。如果在进行深度优先搜索的时候，不优先搜索子节点较少的节点，会大大增加时间和空间的复杂度，甚至无法通过sicily的测试。所以，要选择启发式的深度优先算法，并设定评价函数，由于邻接点数目越少的节点可以走到终点的可能性越小，所以搜索路径的时候应该优先考虑邻接点少的节点，所以节点的邻接点数目越少优先级越高。这样会大大减少犯错的机会，也就会减少时间复杂度。深度优先算法和启发式深度优先算法的空间复杂度都是O（n），还是可以接受的。