因为快要期中考了，顺便更新一下我的博客，就讲一下我比较擅长的数列。预备知识之类的不需要太多，数学必修即可，如果是选修的更好。
写在前面：如果没有特殊说明，我们的An表示数列(注意下标)，没有特殊声明默认A1=1，a^b表示a的b次方。
我里面写的都是非常基础的哦，如果看不懂，只能说明你太菜了。里面只有一道难度还可以的题目，数列的核心科技都不会告诉你们。
等差数列等比数列的基本构型
话说公式大家应该都会了吧，为了照顾大家的智商（假的），我勉强贴一下。
作为一个超懒的肥宅，这些公式我不再证明。就是提一下，等比数列我有个绝妙的证法，可惜我比较低调，就说一下大概思路：对一个多项式进行展开，就是因式分解啦。如果不会，抄十几遍自然会做啦，来自一个弱鸡的忠告。数列的入门大概就是着两个哈，没别的。这个是课本上的，大家都要会啊。
为了让你们理解，我决定随手掰一道水题：设d,q,A1为常数，An=A1+(n-1)d+A1*q^(n-1),求这个数列的前n项和，答案太水不给了。
等差数列和等比数列的变形
变形大概是司空见惯了吧？比如说中间取一个绝对值，我们分段讨论然后合并，水死了。
为了献上我的创意，我花了10秒想了一道题，然后花了5秒写出了正解，果然我的题目还是太水了。
设数列A(n+1)=An+1+n，求前n项和公式。（注意，那个括号里面的是下标）。
根据观察法，我们完成了配方把它变成了等比数列，但是为了欺骗老师，我们要写待定系数法。
再来一题：求A(n+1)=2An+n*n+3*n+2中Sn的公式（括号里面的是下标哦）。
一样的水法，我不讲了，不会的话私聊我哦。
如果我们把它拓展到多项式方程，我们可以表示为下面的形式：
设数列A(n+1)=k*An+F(n)，其中k是常数，F(n)是一个关于n的多项式。就是配方啦，可以高消或者是用克莱姆法则，略。
插入一则我喜欢的表情包。
作为一个崇尚暴力的人，我今天就要高阶展开数列递推公式。。。
PS：博客园把我的图吃掉了，就不更这个了。
裂项相消法
我们小学就学过这个，嗯，然后就没有了。
这类题目很水的，大家找规律完事，找不到规律就凉凉咯。
求通项公式和前缀和的通法
我们普及一下前缀和，前缀和就是前N项和。
来道例题：A(n+1)=An+2^n，求前缀和（水字数用的），我们两边同除2^n即可。
于是我顺带一下错位相减法，这个还有一个公式叫做差分法，如果你看到有一个等比和一个等差在乱搞，差分差分，差.......
若An通项公式为n*(2^n)，求前n项和公式。
用一个Sn作为前缀和，然后乘二，减去原来的前缀，过程略。
然后是推广的形式：An=n*n/(3^n)，求前缀和Sn。
这一题啊，注意到这个依然是一个基本模型，数列n乘数列n除公比3的等比数列，于是水过去了。
下一题差不多，An=(n*n*n*n+n*n*n+n*n+n+1)/(3^n)，求前n项和公式，和上一题大同小异，注意到牛顿二次裂项式就做出来了，这一题有点难度哦，需要用3分钟大概。
如果我们把这个问题推广到高维的形式呢？一样的哦，多么高的次数都可以做，而且都一样。
下一题真的有难度哦：设An=F(n)/(n^n)，A=1,F(n)是一个恒定最高次数为n的多项式。
作者表示他不会做，问了石泉孙谌劼和林冠如都不会，我用一个复平面的级数来表示他，最后用gamma函数刚出来它的洛朗级数，并没有什么软用，说白了就是不会做啦。
嗯嗯额扯远了，我们重新回到话题上来：讲一下前缀和的相邻差等于这个数列项。大家都知道，不证明了，水笔。
这个方法是用来求已知前缀和的通项公式的，注意分类讨论，不然血崩。
哦，还有累加法和累乘法，这两个都是鸡肋，用了没用的。
基本累乘法可以枚举观察得到，上面的方法是拿来蒙骗老师的。
就是解答题用。
特征根
我们的特征根主要针对的是一般的一次多项数列，如果是二次的数列，可能需要用黎曼——阿贝尔变换来反演，这个要问老石，我不是很了解。
既然我们讲到这个，就来一道例题哈。
例题：数列中A1=1,A2=1,A(n+2)=A(n+1)+An，求通项公式。
如果求前缀和怎么办？这个太难了，需要傅里叶变换才行，估计研究生都考不了的，放心。
回到这个破题，就是斐波那契数列啊！！！你们估计都知道结论，而且方法很多，我是介绍特征根的，如果你硬要用泰勒级数，你咋不上天呢？
我们移项，得到A(n+2)-A(n+1)+A(n)=0，注意啦，我们的一般式不会有二次项，不然就是黎曼——阿贝尔变换了。
把它变成一个方程：x*x-x+1=0，解得两个根。
如果两个根不等：An必然为如此形式：a*(x1)^(n-1)+b*(x2)^(n-1)，直接解方程即可哦。
如果相等，必然是a*b^(n-1)+(n-1)(A2-b*A1)*b^(n-2)的形式，同理。
下面是我造的一个例题，数据绝对良心哦，A1=1,A2=1,A3=1,A(n+3)=7*A(n+1)+6*An,求An的通项公式。
答案先不贴，差不多的做法。如果实在推不倒方程，开卡丹公式盛金定理。
特征根大概就到这里，如果递推公式有常数，我们可以升阶做，太水略过。
一些奇奇怪怪的方法
这类的方法都是笔者发明的，目前没有官方认证。大概就是奇门遁甲之术吗？
比如高中的数列全部都不能是含有数列的二次的。比如A(n+1)=3*An*An+4*An+5，就无法解决。
我的思路是把它化简成A(n+1)=a*(An+B)^2的形式，然后我们用对数法取对数即可。
这个答案，指数级别的增长率。。。
然后是不动点法，我做了这么多年的高考题，极值点偏移之类的，司空见惯。
不动点的证明和多项式差不多，你们搜索一下牛顿迭代，牛顿会告诉你们。
不动点就是列个方程就可以了。线性递推方程最好的还是配方，高考的倒二套路差不多的。
下面是非线性递推方程的不动点问题：
若A(n+1)=(a*An+b)/(c*An+d),求An的通项公式。
直接解方程x=(ax+b)/(cx+d)即可。
若x1!=x2：(An-x1)/(An-x2)是公比为(a-c*x1)/(a-c*x2)的等比数列。
若x0!=x1=x2：1/(An-x0)为公差为2c/(a+d)的等差数列。
若x0=x1=x2,数列为x0的常数列。
信手拈来一个例子：A(n+1)=(An+4)/(2An+3)，A1=3求通项公式。
注意一下数列可能会失去意义，有点阴险吧。
再来一个例子：判断A(n+1)=(13*An-25)/(An+3)的有穷性，来自百度，我懒得想题。
习题推荐
若数列An单调递增（大前提），求A1已知，A(n+1)=(a*An+b)/(c*An+d)的极限。
答案很水的哈，比较长。最后一步提一下，我们洛洛洛。。。洛，洛到函数祖坟上去。
韦达定理的高阶推广
这个东西百度上有，我说一下二级结论，任意特殊形式的高次线性递推式都可以化简为某个等比数列。
听起来很吊，我就用拉格朗日插值给你们推了一个三次的例子。
若数列满足A(n+1)=An^3+6*An*An+12An+6，求数列的通项公式（你如果求前缀和我也不拦你）。
我故意造了一个卡丹的数据，嘿嘿嘿。答案很恶心，那个带一堆根号的就对了。
后面的高阶递推方程都有特殊解，其他的一般无解。
高阶数列
我很想安利一下莱布尼茨公式，不过这个高阶和我的高阶没什么关系。
这里的阶其实是原来数列的两项之差，然后构造新的数列。注意两根相等的情况。//齐次线性的高阶就是暴力解方程，考试绝壁不考。
非线性作为兴趣可以了解，核心科技我不告诉你。
完结撒花
就这么结束了？不存在的。我出一道思考题哦：如何求一个高次非线性递推数列的前缀和？如果不会没关系，想一下通项公式呗。
有的读者反映这里看不懂，其实就是说A(n+1)=(a*An*An+b*An+c)/(d*An*An+e*An+f)的高次通解啊。
对不起，我太菜了。欢迎来喷我，哪里不对改哪里。
