深入理解计算机系统（3）
本文我们主要讲关于数据的的表示方式：原码，反码和补码。
本文在写作过程中，参考了园中的这篇文章《原码，反码，补码详解》，特此声明。
一原码
计算机中是使用二进制来表示数据的，对于C语言这样的强类型语言，每一个数值类型，都有其范围，例如一个int类型，在32位机器上，其表示的范围如下：
|
|
最小值 |
最大值 |
|
有符号整数 |
-2147483648 |
217483647 |
|
无符号整数 |
0 |
4294967295 |
而如果我们定义了一个int类型，给其的赋值，超出了这个范围，则会出现问题。一般编译器会检查这个问题，会出现编译错误。
为了简单，我们以一个char类型（8位）来进行举例：
|
|
最小值 |
最大值 |
|
有符号char |
-128 |
127 |
|
无符号char |
0 |
255 |
那么什么是原码呢：原码是二进制的一种表示方式，其规特点是：
无符号数的每一位都是数字位，
有符号数的最高位是符号位，0表示正数，1表示负数，其余各位表示数值。
1.1无符号数的原码
先说无符号的情况，我们选择几个值
|
十进制 |
二进制原码 |
|
0 |
00000000 |
|
127 |
01111111 |
|
128 |
10000000 |
|
255 |
11111111 |
可见最高位为1，表示十进制的数字128，8位全部都是1，表示255。
例如计算两个数字1和1相加：
|
|
十进制 |
无符号二进制原码表示 |
|
加数1 |
1 |
00000001 |
|
加数2 |
1 |
00000001 |
|
求和 |
2 |
00000010 |
因此，对于一个无符号数，使用原码表示是正常的。
1.2有符号数的原码
对于有符号数，用原码表示负数，要怎么表示呢？
因为是二进制，也就只有0和1两种符号，于是就定义最高位为符号位：最高位为0的原码，表示一个非负数；最高位为1的原码，表示一个负数。
|
十进制 |
无符号原码 |
有符号原码 |
|
0 |
00000000 |
00000000 |
|
127 |
01111111 |
01111111 |
|
-127 |
超出范围，无法表示 |
11111111 |
|
255 |
11111111 |
超出范围，无法表示 |
由上面的表格，我们可以发现原码表示的特点：
1对于一个非负数，在不超出其表示范围的前提下，无符号数和有符号数的原码表示形式是一样的；
2对于一个负数（有符号数），在不超出其表示范围的前提下，其最高位为1，而其余各位与无符号数一样。
那么如果我们在进行计算的时候，使用原码来对两个有符号数进行二进制加法运算会怎么样呢？
两个数都非负数，计算结果是是正确的；
如果有一个数是负数，就会出现问题：
例如：计算如下的两个数字，1和-1相加：
|
|
十进制 |
有符号二进制原码表示 |
|
加数1 |
1 |
00000001 |
|
加数2 |
-1 |
10000001 |
|
求和 |
-2 |
10000010 |
1+(-1) = -2
这显然，不是我们想要的结果。
如果想用原码表示，就需要计算机对负数的原码进行特殊的处理。如上面的例子，加数2的值是10000001，那么最高位不参与计算，只用于标记这是一个负数。然后将一个正数和另一个负数的加法，转变为两个正数的减法。
即将1+(-1)变为1-1，按照二进制的减法运算法则，得到
|
|
十进制 |
有符号二进制原码表示 |
|
被减数 |
1 |
00000001 |
|
减数 |
1 |
00000001 |
|
求差 |
0 |
00000000 |
1-1=0
这样就得到了，我们想要的结果。
这样看起来似乎也是可以接受的，那我们再算一些其他的数字，例如1+(-2)，按照上面的规则，我们要将其变为1-2
|
|
十进制 |
有符号二进制原码表示 |
|
被减数 |
1 |
00000001 |
|
减数 |
2 |
00000002 |
|
求差 |
? |
? |
由于1小于2，因此1减2，等于2减1，再对结果求其相反数。根据减法的规则，1-2= - (2-1)
|
|
十进制 |
有符号二进制原码表示 |
|
被减数 |
2 |
00000002 |
|
减数 |
1 |
00000001 |
|
求差 |
1 |
00000001 |
|
求反 |
-1 |
10000001 |
这样我们也得到了，正确的结果。
但是我们要注意以下几点问题：
1要判断运算数中是否有负数
2可能将加法运算变为减法运算
3可能要求其相反数
可见，本来一个简单的加法的运算，由于负数的问题，变得复杂了。而要处理这些问题，计算机需要一些额外存储空间，以及额外的计算步骤。相应的电路的设计就要更加复杂。
结论：复杂度高，不适合。
二反码
如果使用原码可以很方面的进行计算的话，我也就不会使用反码的方式来表示二进制了。
从上一节可以发现，使用原码的方式在做负数的加法时，比较麻烦。
而负数，表示的是一个正数的相反数，那么我们将一个二进制数按位取反，会有怎样的现象呢？
我们看以下这些数字。
|
原始值 |
无符号数原码 |
原码按位取反 |
去反后的值 |
|
0 |
00000000 |
11111111 |
255 |
|
127 |
01111111 |
10000000 |
128 |
|
255 |
11111111 |
00000000 |
0 |
可以看出，无符号数，二进制按位取反，其结果为原值被最大值（255）减，即：
0按位取反表示255 – 0 = 255
127按位取反表示 255 – 127 = 128
255按位取反表示 255 – 255 = 0
那么对于有符号数有是什么样呢？我们看以下有符号数字，原码符号位不变，数字位按位取反的计算结果
|
原始值 |
有符号数原码 |
原码按位取反 |
取反后的值 |
|
-127 |
11111111 |
10000000 |
-0 |
|
-3 |
10000011 |
11111100 |
-124 |
|
-1 |
10000001 |
11111110 |
-126 |
|
0 |
00000000 |
01111111 |
127 |
|
1 |
00000001 |
01111110 |
126 |
|
3 |
00000011 |
01111100 |
124 |
|
127 |
01111111 |
00000000 |
0 |
可以看出，有符号数，除了符号位，二进制按位取反，其结果的绝对值为原值被最大值（127）减，即：
-127按位取反表示- (127 – 127 ) = -0
-3按位取反表示 – (127 – 3 ) = - 124
0按位取反表示 +（127 – 0 ）= 127
3按位取反表示+(127 – 3) = 124
127按位取反表示+（127 – 127 ）= 0
那么如果我们在计算有符号数加法时，我们可以得到如下的四种情况
|
|
使用原码 |
使用原码取反 |
|
正数 |
|
|
|
负数 |
|
|
我们按照这四种情况分别计算1 + (-1)，使用二进制加法，看看有什么有趣的现象
1正数使用机器码，负数使用机器码
在计算符号不同的两个数值的加法时，最终结果的符合与绝对值大的那个相同。
但是如果两个数值不为0，且互为相反数，那最终的结果的符号就不一定了。
|
|
十进制 |
有符号二进制原码表示 |
|
加数1 |
1 |
00000001 |
|
加数2 |
-1 |
10000001 |
|
求和 |
？ |
x0000010 |
|
x=0 |
2 |
00000010 |
|
X=1 |
-2 |
10000010 |
无论x是正还是负，结果似乎都不正确。
2正数使用机器码，负数使用机器码按位取反
|
|
十进制 |
有符号二进制原码表示 |
|
加数1 |
1 |
00000001 |
|
加数2（按位取反） |
-2 |
11111101 |
|
求和 |
-1 |
10000001 |
我们定义最高位符号位的值是x，
对于1 + (-2) ，由于负数的绝对值（2）大于正数的绝对值（1），因此可以确定，x的值是1。
也就是首先能确定最终结果是个负数，然后计算其后面的数值位，
七位的：0000001
加上
七位的：1111101
得到
七位的：1111110
再加上符号位，得到
八位的：11111110
按照前提，这是一个负数，其真值要对其数值为按位取反，得到10000001，即 -1。
这个结果，貌似很好。但是如果计算1+ （-1）会怎么样呢？
|
|
十进制 |
有符号二进制原码表示 |
|
加数1 |
1 |
00000001 |
|
加数2（按位取反） |
-1 |
11111110 |
|
求和 |
?? |
X1111111 |
|
X=0 |
127 |
01111111 |
|
X=1（按位取反） |
-0 |
10000000 |
这里在计算00000001和11111110时，由于1和-1的绝对值相等，那么其符号就无法确定。那么我们先不考虑符号位，将数值位进行二进制加法，然后得到x1111111。
那么这时候，x的值有两种可能：
X = 0 ，那这个数字是正数，正数值为：127
X = 1，那这个数字是负数，负数在本环境下是要按位取反来得到其真值的，因此
11111111按位取反，得到10000000，即真值为- 0
那么到底x等于几呢？这个似乎也是个不太好说的问题。
对于 -0 和 127，貌似 -0更加贴近最终的答案，那可以人为的规定，如果负数按位取反，在计算时，符号位优先使用1，即x值无法确定时，优先取1。
我们再计算一下-1 + （-1）
|
|
十进制 |
有符号二进制原码表示 |
|
加数1（按位取反） |
-1 |
11111110 |
|
加数2（按位取反） |
-1 |
11111110 |
|
求和 |
-124 |
11111100（溢出） |
|
按位取反 |
-3 |
10000011 |
3正数使用机器码按位取反，负数使用机器码
|
|
十进制 |
有符号二进制原码表示 |
|
加数1（按位取反） |
2 |
01111101 |
|
加数2 |
-1 |
10000001 |
|
求和 |
126 |
01111110 |
|
按位取反 |
1 |
00000001 |
|
|
十进制 |
有符号二进制原码表示 |
|
加数1（按位取反） |
1 |
01111110 |
|
加数2 |
-1 |
10000001 |
|
求和 |
?? |
X1111111 |
|
X=0（按位取反） |
0 |
00000000 |
|
X=1 |
-127 |
11111111 |
根据第2中情况的分析，我们可以得到上表的结果。
此时，x的值仍然有两种情况，
X优先取0，则得到结果 0
X优先取1，则得到结果-127
那么这种情况下可以规定，x值优先取0。
我们计算1 + 1
|
|
十进制 |
有符号二进制原码表示 |
|
加数1（按位取反） |
1 |
01111110 |
|
加数2（按位取反） |
1 |
01111110 |
|
求和 |
124 |
01111100（溢出） |
|
按位取反 |
3 |
00000011 |
4正数使用机器码取反，负数使用机器码取反
|
|
十进制 |
有符号二进制原码表示 |
|
加数1（按位取反） |
1 |
01111110 |
|
加数2（按位取反） |
-1 |
11111110 |
|
求和 |
?? |
X1111100（溢出） |
|
X=0（按位取反） |
3 |
00000011 |
|
X=1（按位取反） |
-3 |
10000011 |
归纳上面的规律
|
序号 |
名称 |
1+1 |
2+2 |
1+（-1） |
1+（-2） |
-1+（-1） |
-2+（-2） |
|
1 |
正原负原码 |
2 |
4 |
2或-2 |
-3 |
-2 |
-4 |
|
2 |
正原负反码 |
2 |
4 |
-0或127 |
-1 |
-3 |
-1 |
|
3 |
正反负原码 |
3 |
1 |
0或-127 |
-0 |
-2 |
-4 |
|
4 |
正反负反码 |
3 |
|
3或-3 |
|
-3 |
|
可以看到，有价值的是1和2，将两种组合，应该可以计算出正确的结果。
|
|
正+正 |
正+负 |
负+负 |
结论 |
|
1 |
Y |
N |
Y |
符号相同成立 |
|
2 |
Y |
Y |
N |
符号不同成立，双正成立 |
我们使用1和2结合，得到如下二进制加法计算规则：
在符号相同时，符号位不变，数值位直接进行二进制加法。
在符号不同时，符号位由绝对值大的数字的符号决定，如果绝对值相同，优先使用负值，而负数将数值部分，用机器码按位取反后，再与正数进行二进制加法。
那么按照这个规则，在进行计算机的运算处理时，需要考虑哪些问题呢？
1要判断数字的符号
2要根据符号相同和不同采取不同的策略
这里面，1是必须要考虑的，因为有符号数字，必须要有一个位来标识符号。
有了这一点，就可以解决同符号的加法问题了。
对于不同符号的加法，如果正数和负数绝对值相同，仍然是个不好处理的问题。
结论：复杂度低，但是还有待改善
三补码
上节讲的，正数用机器码表示，负数用机器码按位取反的表示方法，就是反码。
而且，一个数字的反码所表示的数字，与自身的和，是固定值——这个数值所能表示的最大值。
对于8位无符号数值类型的变量，其最大值是255。
而7位的话，最大值是127。
因此，对于1+(-2)，可以先确定符号位是1，然后计算000 0001和000 0010（取反）的和
即，000 0001 + 111 1101，结果是111 1110。再取反，得到000 0001。再补上最高位的1
得到，1000 0001，结果就是-1。
当正值和负值的绝对值相同的时候，例如 1+(-1)，我们规定此时符号0，然后计算
000 0001和000 0001（取反）的和，即000 0001 + 111 1110，结果是111 1111。由于这个数字式正数，因此其值为127。注意，这里的前提是，正数保持原样，负数按位取反。
那么127，代表什么呢？
对于一个char字符，除去其最高位符号位，还剩下7位。
7位二进制的表示范围是000 0000到111 1111，即0到127，共128个数字。
从000 0000开始加1，加127次达到最大值。
达到最大值之后，如果再加1，就得到1 000 0000。而这里的最高位因为溢出而会被舍去，因此只存储了000 0000这7位值，这个值就回到了最初。
对于钟表来讲，从1开始，依次加1，加到12时，达到了最大值。再加1的话，就得到了13，而13由于溢出，因此只保留了1。
因此，我们可以得到这个结果，如果最小值从1开始，那么最大值就是周期。
因此钟表的周期是12。
那么7位二进制数的周期是多少呢？从0到127，为了和钟表统一，我们将其整体加1：
从1开始，最大到128。这样可以推出，7位二进制的周期是128。
也就是说，7位二进制数，表示的数字，具备这样的特性。
数字N与其按位取反的数字M，必有N+M=周期-1。
因此N=周期-1-M。
而周期会溢出，因此在N上增加若干整数倍周期，与没有增加周期，其结果是一样的。
因此有：周期+N = 周期 – 1 – M。注意这里的相等，是去掉溢出位之后相等。
那么所有两边都去掉一个周期。
就得到
N = -1 – M即N= -（M+1）
因此就有 -N = M + 1
根据同余的特性，对于任意数字X，X在7位二进制数字表示范围内：
有X+（-N） = X+ M+1
而M为N的按位取反（反码）。所以对于一个负数，在其二进制反码的基础上在加上数字1，就得到了其同余的数值。这就是现在计算机中实际表示数据的形式——二进制的补码。
以上的推导过程，不是严格的数学证明，只是为了方便理解。
而我们用补码方式来进行计算1 + （-1）
首先确定符号位的值是0
因此计算000 0001 和 000 0001（求补）的和，即
000 0001 + 111 1111 因此，得到000 0000，再补充上最高位0，
得到0 000 0000，即数字0。
完美解决了，在使用反码时，正数情况下的127而负数情况下-0的问题。
结论：使用补码存储数值，可以用加法的运算处理减法。计算相反数的加法，也正确。
可以使用。
四总结
数学是计算机的基础，从计算机的二进制存储可见一斑。因此我们在学习计算机技术的同时，加强数学知识的学习，是非常重要的。
