数独高阶技巧入门之四:简单异数链
一、XY-Wing
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图1中,R2绿色三个双值格构成三链数,则在该行中X、Y、Z三个数字只能存在于绿色三格中。如果我们把三链数构成的直线掰弯,比如掰成像下图中的两种情况, YZ格游离于大家庭之外,三链数不复存在,但是籍由XY格的居中联系(XY格和XZ、YZ两翼分别处于同一Unit),会形成一条(Z==X)—(X==Y)—(Y==Z)的异数链,显然两翼XZ和YZ格中共有的两个Z之间构成强关系,必有一真,故可删去XZ、YZ共同作用格中的数字Z。
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来看下面的实例。
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图3中R1C3为XY格,两翼R1C6、R2C1中共有2,可删去两翼共同作用格R2C6中的2。
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图4中R4C1格为XY格,可删去两翼(R4C4、R5C2)共同作用格中的9(红色)。
我们在巡盘时,如果在同一Unit(Row、Column、Box)内,发现存在AB、BC两个双值格,就可以尝试分别从AB、BC两格出发,在这两格共处的单元之外去寻找可以与之联系起来(亦即AB、BC分别所在的单元)的双值格AC。
二、XY-Chain
XY-Chain是XY-Wing的扩展,其原理和XY-Wing相同。若双值格的数目不断增加,但仍可通过居间联系的双值格前后连接起来,则首尾两端双值格中共有的候选数互为强关系,可以删去两端点共同作用格中的该数字。大家可以用链的思维去自行分析一下下边示意图中的例子,注意首尾两端位置变化对删减范围的影响。
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来看一个实例,图6中R3C2、R8C2、R8C4和R8C7构成XY-Chain(红色实线代表强链,虚线代表弱链),可删去两端点(R3C2和R8C7)共同作用格R3C7中的4。
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三、XY-Cycle
如果XY-Chain的首尾两端可以连接起来,就会形成一个闭环(Loop),我们将之称为XY-Cycle。如下图,6个双值格首尾依次相连形成一个Loop ,双值格内两数之间为强链,格外为弱链(虚线)。显然,断开任意一条虚线,都会形成一个XY-Chain结构(断开处的两个双值格成为XY-Chain的首尾两端),按照其规则进行相应删减即可,大家可以自行分析推导。
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四、XYZ-Wing
如果XY-Wing结构中,XY格内也出现了两翼共有的候选数Z,就会形成XYZ-Wing结构。XYZ格多出来的Z起到了前篇《Fish》一文中Fin的作用,将删减范围限制在XYZ格所在的宫,具体如下图所示。需要注意的是,右图中的结构由于XZ、YZ两格的删减范围(黄色格)本来就不和XYZ格同宫,所以这种情况下不能做出删减。
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五、WXYZ-Wing
WXYZ-Wing可以看作是一个4格的XY-Wing或XYZ-Wing结构。在组成这一结构的4格(绿色)中,有3格位于同一Unit-A且构成ALS结构(此结构在首篇《链及其简单应用》中已有介绍),游离于外的双值格WZ格与ALS中的一部分(一格或两格)共处一个Unit-B,且二者可通过严格共同候选数W(Restricted Common Candidate, RCC。 该候选数不得存在于Unit-B之外的ALS中)发生联系,此时,若ALS结构亦含有候选数Z,则可删去WZ格与ALS中 {Z}共同作用格里的候选数Z。
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在图9中,左边大九宫格R2、右边B2中的绿色三格构成ALS={WXYZ},该Unit外的WZ格通过RCC=W与该ALS发生联系,可删去WZ格与ALS结构共同作用格(黄色)内的候选数Z。用链的逻辑来解释,就是在双值格WZ中,候选数W与Z构成强链;在ALS结构中,W与所有的Z(注意是所有的Z构成的group而非单个的Z)构成强链,这两条强链可通过RCC-W连接起来,形成(Z==W)—ALS(W)==ALS{Z}的异数链。
之所以要求W 不得存在于Unit-B之外的ALS中 ,是为了保证,在ALS结构中,用来联接WZ双值格的Unit-B{W}与ALS{Z}构成的是强关系。如果Unit-B之外的ALS中还存在W的话,那就是作为整体的ALS{W}(即Unit-B{W}+non-Unit-B{W})与{Z}之间构成强关系,在这种情况下。WZ双值格中的W无法与ALS{W}形成链接,不能进行删减。
来看下面的实例,图10盘势中第四行中R4C346三格构成ALS{1259},双值格R6C1{19}与R4C3{1259}同处B4宫,且二者拥有RCC=1,此时可删去R6C1与 ALS{1259}中{9}共同作用格R4C2的9。
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图11中C6列三格构成ALS{2569},双值格R5C5{59}与R4C6{269}共处于B5,且二者拥有RCC=9,此时可删去R5C5和ALS{2569}中{5}共同作用格内的5(红色)。
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注意本例中,ALS{2569}中的{5}作为整体同时存在于B8和C6,故ALS中{5}的作用范围为B8和C6,而上例中ALS{9}只存在R4,作用范围也仅限于R4。需要再次提醒大家,遇到ALS结构时,必须用整体的观念去看待其中数字之间的关系。
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上图盘势中,R3存在ALS{3459},R2C2{39}与R3C13同处B1,且二者拥有RCC=9(注意将R3C13中的9作为整体看待),此时可删去R2C2与ALS{3459}中{3}共同作用格内的3(红色)。
六、Y-Wing
XY-Wing是将三链数构成的直线掰弯,而Y-Wing可以看作是将XY数对掰弯。如下图,绿色的两个XY双值格不在同一Unit,二者之间没有直接联系。此时,在黄色行(列)中,仅存在两个X(保证构成强链),且这两个X分别与XY双值格发生联系,将两个绿色格内的(X==Y)连接起来,形成了一条(Y==X)—X==X—(X==Y)的异数链,此时两个绿色格中的Y互为强关系,可删去其共同作用格内的Y(橙色)。
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照例在文末提供一个盘势供大家自行分析揣摩。
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作者:零时四分_719b
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