CodeForces - 1253F Cheap Robot (多源Dijkstra+最小生成树)
题意是有一张无向连通图，边带权，每走过一条边需要消耗一定的电量。有k个关键点可以充满电，问从一个关键点走到另一个关键点，需要的电池容量至少是多少。
首先可以分析一下极端情况：
1.k=2：问题转化成求两点间最短路
2.k=n：问题转化成求最小生成树
所以要把两者综合起来考虑。
首先对所有关键点求一个多源最短路，得到每个点到最近的关键点的距离d，之后会发现：
1.假设走到某个点时的电量小于d，那么这个点就废掉了(永远不可能走到其他关键点)
2.假设电池容量为c，在不废掉的前提下，到达每个点时的电量必然是c-d(如果小于这个值，就可以走到最近的关键点充满电再走回来，前提是电量不小于d)
所以，对于每条边(u,v,w)，点u可通过这条边走到点v的条件是c-d[u]-w>=d[v]，即d[u]+d[v]+w<=c，这个性质关于u和v是对称的。(这个结论成立的前提是起点和终点都必须是关键点，否则就不可做了)
因此可以把每条边的边权改为(u,v,d[u]+d[v]+w)，用kruskal算法求个全局最小生成树(按秩合并，无路径压缩)，之后可以$O(logn)$询问。总复杂度$O(mlogm+qlogn)$
(ps：如果对最小生成树再来个树剖，这样复杂度就成了$O(mlogm+qloglogn)$)
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int N=3e5+10,mod=1e9+7; 5 ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f; 6 int n,m,k,Q,fa[N],hd[N],ne,mxd[N]; 7 ll d[N],val[N]; 8 struct E {int v,c,nxt;} e[N<<1]; 9 struct E2 { 10 int u,v; 11 ll c; 12 bool operator<(const E2& b)const {return c<b.c;} 13 } e2[N]; 14 void link(int u,int v,int c) {e[ne]= {v,c,hd[u]},hd[u]=ne++;} 15 struct D { 16 int u; 17 ll g; 18 bool operator<(const D& b)const {return g>b.g;} 19 }; 20 void Dij() { 21 priority_queue<D> q; 22 memset(d,inf,sizeof d); 23 for(int i=1; i<=k; ++i)q.push({i,d[i]=0}); 24 while(q.size()) { 25 int u=q.top().u; 26 ll g=q.top().g; 27 q.pop(); 28 if(d[u]!=g)continue; 29 for(int i=hd[u]; ~i; i=e[i].nxt) { 30 int v=e[i].v,c=e[i].c; 31 if(d[v]>d[u]+c)d[v]=d[u]+c,q.push({v,d[v]}); 32 } 33 } 34 } 35 int fd(int x) {return fa[x]?fd(fa[x]):x;} 36 void mg(int x,int y,ll c) { 37 int fx=fd(x),fy=fd(y); 38 if(fx==fy)return; 39 if(mxd[fx]>mxd[fy])swap(fx,fy); 40 fa[fx]=fy,val[fx]=c,mxd[fy]=max(mxd[fy],mxd[fx]+1); 41 } 42 void Kruskal() { 43 sort(e2,e2+m); 44 for(int i=1; i<=n; ++i)mxd[i]=1,fa[i]=0; 45 for(int i=0; i<m; ++i) { 46 int u=e2[i].u,v=e2[i].v; 47 ll c=e2[i].c; 48 mg(u,v,c); 49 } 50 } 51 ll qry(int u,int v) { 52 ll ret=0; 53 for(; u!=v; u=fa[u]) { 54 if(mxd[u]>mxd[v])swap(u,v); 55 ret=max(ret,val[u]); 56 } 57 return ret; 58 } 59 int main() { 60 memset(hd,-1,sizeof hd),ne=0; 61 scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&Q); 62 for(int i=0; i<m; ++i) { 63 int u,v,c; 64 scanf("%d%d%d",&u,&v,&c); 65 link(u,v,c); 66 link(v,u,c); 67 e2[i]= {u,v,c}; 68 } 69 Dij(); 70 for(int i=0; i<m; ++i)e2[i].c+=d[e2[i].u]+d[e2[i].v]; 71 Kruskal(); 72 while(Q--) { 73 int u,v; 74 scanf("%d%d",&u,&v); 75 printf("%lld\n",qry(u,v)); 76 } 77 return 0; 78 }
