01背包

视频地址：

https://www.bilibili.com/video/BV1U5411s7d7?

 

 

一，0-1 背包题目

给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。其中，每件物品都只能选择一次。

 

 

二，错误的思考

之前曾经想到，可以求出每件物品的单价（即 价格/重量），在根据单价进行排序和选择。后来写出来答案不对，才发现这样做有个问题，即这里的物品并不是真的称斤买的。

例如，你背包空间剩下 4，此时还剩下两件物品没有决策，一个 w：1，v： 5，一个 w： 4，v： 6。这时，两件物品无法同时选择，答案很明显应该选第二个，但是在这种方法下，会选择第一个，因为第一个单价更高。

这种方法会出错的原因在于：到了最后，尽管你单价更高，但你的空间利用的不够。

错误的代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 100
struct Node
{
    int w, v;
    double av;
}kp[N];
bool vis[N];   // 标记这个物品是否偷过
bool cmp(Node a, Node b)
{
    return a.av - b.av < 1e-6;
}
int W, n;  // W 背包的最大空间  ，n 代表物品个数
int V;  // 最大价值
void knapsack_01()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (kp[j].w < W&&vis[j] == 0)
            {
                vis[j] = 1;
                W -= kp[j].w;
                V += kp[j].v;
            }
        }
    }
}
int main(void)
{
    scanf("%d%d", &n, &W);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d%d", &kp[i].w, &kp[i].v);
        kp[i].av = (double)kp[i].v / (double(kp[i].w));
    }
    sort(kp + 1, kp + n + 1, cmp);
    knapsack_01();

    printf("%d\n", V);
    
    system("pause");
    return 0;
}
/*测试数据：
5 20
2 3
3 4
4 5
5 8
9 10
*/

 

 

三，算法分析

　　这种 01背包是比较一般性的动态规划问题，即可以由前面的状态堆出后面的状态。所以可以从函数关系和函数出口概括这种问题。( ｡ớ ₃ờ)ھ 

设 B(k,w) ：

　　如果背包共计能装 w 重的商品，那么在只能选择前 k 个商品的前提下，背包能装的物品的最大的价值。

则有

　　函数关系：

　　在对 B(k, w) 进行分解时，可以将其分为三种情况：

　　　　B(k, w)  =  max ①②③

　　　　　　① 为 B(k-1, w) 　　　　　  代表  第 k 件放不下，所以偷不了

　　　　　　② 为 B(k-1, w) 　　　　　  代表  第 k 件放得下，但选择不偷

　　　　　　③ 为 B(k-1, w-wk) + vk 　　代表  第 k 件放得下，且很选择偷

　　函数出口：

　　　　B(0, w) = 0　　一个都不能偷，偷个寂寞

　　　　B(k, 0)  = 0　　一个都放不下，望洋兴叹

 

 

 四，代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAX(x,y) (x>y?x:y)
#define N 100
int b[N][N];
int w[N], v[N]; // 商品重量，商品价值
int n, m;        // 物品个数，背包体积
int dp(int k, int m)
{
    if (k == 0)
        return 0;
    if (w == 0)
        return 0;
    if (w[k] > m) // 放不下
        return dp(k - 1, m);
    return MAX(dp(k - 1, m - w[k]) + v[k], dp(k - 1, m));
}
void knapack_01()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            if (w[i] > j) // 放不下
                b[i][j] = b[i - 1][j];
            else
                b[i][j] = MAX(b[i - 1][j - w[i]] + v[i], b[i - 1][j]);
        }
    }
}
void show()
{
    printf("\nw == > ");
    for (int i = 0; i <= m; i++)
        printf("%3d", i);
    puts("");
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        printf("第%d件: ", i);
        for (int j = 0; j <= m; j++)
        {
            printf("%3d", b[i][j]);
        }puts("");
    }
    printf("当背包可装重 %d 的物品时，最多可偷 %d 价值的物品\n", m, dp(n, m));
}
int main(void)
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)    // 商品下标从1开始
        scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);

    knapack_01(); // 01 背包
    show();

    system("pause");
    return 0;
}
/*测试数据：
5 20
2 3
3 4
4 5
5 8
9 10
*/

 

 

 

========== ========= ======== ======= ====== ===== ==== === == =

　　清平乐 · 六盘山  　　毛润之

天高云淡，望断南飞雁。

不到长城非好汉，屈指行程二万。

六盘山上高峰，红旗漫卷西风。

今日长缨在手，何时缚住苍龙？