插入排序 和 希尔排序

参考：数据结构教程（第五版）李春葆主编

 

 

一，插入排序

1，算法思路（升序序列）

　　将数组分为有序区和无序区，初始时有序区只有a[0] (一个元素的话，自然有序)，剩下的都是无序区。然后从第二个元素依次往后，将每个元素插入有序区，共需插入 n-1 次。

　　插入的方法：从要插入的元素 key 的位置往前遍历，将每个大于 key 的元素后移一位

　　结束的条件/插入位置的判断：

　　　　遍历到第一个小于等于 key 的元素，则此时 key 要插入的位置就在该元素的后一位；

　　　　遍历结束后都没有找到小于等于 key 的元素，则此时 key 要插入的位置就在有序区的第一位

 

2，代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 110
int a[N];
void insertSort(int n)
{
    // 从第二个元素依次往后，将每个元素插入有序区，共需插入 n-1 次
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        // 找到要插入的位置，并将经过的元素后移
        int j = i, key = a[j];
        for (; j > 0 && a[j - 1] > key; j--)
            a[j] = a[j - 1];
        a[j] = key;
    }
}
int main(void)
{
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);

        insertSort(n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            printf("%d ", a[i]);
        puts("");
    }
    return 0;
}

 

3， 算法分析

① 时间复杂度

　　平均情况下：

　　　　对于每一次插入，都要将 a[t] 插入前面的有序区的 a[j] 的位置上。易得 1 <= t <= n-1，且 t 前面 0 ~t-1 个元素都是有序的，j 就是 t 要插入的位置。按平均概率来说，j 有 t+1 个位置可以选择，每个位置概率都是一样的，为 1/(t+1)。此时，需要将 j ~ t-1 范围内的元素全部后移，外加插入前的 key = a[t]，插入时的 a[t] = key，即移动次数为 t-j+2。还需要将 a[t] 与 j-1 ~ t-1 范围内的元素进行比较，即比较次数为 t-j+1 (当 j 为 0 时，比较次数为 t-j，该误差被忽略不计)。 所以有：

一次插入的平均时间复杂度为：

　　

所以，总的时间复杂度为

　　

② 空间复杂度

　　插入排序算法中，只使用了 i，t，key 三个辅助变量，与问题规模 n 无关，所以时间复杂度为 O(1)。

③ 稳定性

　　如果有 a[i] = a[j]，且 i < j。那么插入排序是先将 a[i] 插入到有序区，再将 a[j] 插入到 a[i] 后面，则 a[i] 与 a[j] 的相对位置不变，所以插入排序是一种稳定的排序算法。

 

 

二，希尔排序

1，算法思路

　　希尔排序是一种分组插入排序。先对间隔大的子序列进行插入排序，再对间隔小的子序列进行插入排序。

 

2，代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 110
int a[N];
void insertSort(int n, int gap) // 对间隔为 gap 的子序列进行插入排序
{
    for (int i = gap; i < n; i += gap)
    {
        int j = i, key = a[j];
        for (; j > 0 && a[j - gap] > key; j -= gap)
            a[j] = a[j - gap];
        a[j] = key;
    }
}
void shellSort(int n)
{
    // 间隔不断减少，直到间隔为 0 停止。(间隔为1的下一次)
    for (int gap = n / 2; gap; gap /= 2) 
        insertSort(n, gap);
}
int main(void)
{
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);

        shellSort(n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            printf("%d ", a[i]);
        puts("");
    }
    return 0;
}

 

3，算法分析

① 时间复杂度

　　因为间隔选取的不同，希尔排序的时间复杂度也是不一样的，且到目前为止最佳间隔的选取还是没有定论的。所以希尔排序算法的时间复杂度难以分析，不过一般认为是 O(n的1.3次方)。至于为什么希尔排序算法优于插入排序呢？

　　我们用定性的方法进行分析：

　　　　当 gap 值较大时：子序列中元素个数较少，插入次数较少，时间较快

   　　　当 gap 值较小时：子序列中元素个数变多，但数据已经基本有序，所以插入次数较少，时间还是较快

　　所以总体插入次数比较少。

② 空间复杂度

　　希尔排序算法中，只使用了 i，t，key，gap 四个辅助变量，与问题规模 n 无关，所以时间复杂度为 O(1)。

③ 稳定性

 　　希尔排序是一种不稳定的排序算法。

　　举例说明：

　　　　当数组 { 1, 3, 2, 2 } 以 gap=2 的间隔进行插入排序后，变成了 { 1, 2, 2, 3 } 。其中，原先下标为 2 的 2 位置不变，原先下标为 3 的 2 位置变为 1，跑到了下标为 2 的 2 前面，即两个 2 的相对位置发生了变化，说明希尔排序是一种不稳定的排序算法。

 

 

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When you treasure your past, are satisfied with your present, and are optimistic about your future,

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When you understand that success will not make you, failure will not destroy you, flat will not drown you,

you stand on the highest point of life.