堆排序

参考：

https://www.bilibili.com/video/BV1Eb41147dK?from=search&seid=7630499509795698118

https://baike.baidu.com/item/%E5%A0%86%E6%8E%92%E5%BA%8F/2840151?fr=aladdin

https://baike.baidu.com/item/%E5%A0%86/20606834?fr=aladdin

 

 

一，堆排序概述

1，堆排序（Heapsort）

　　堆排序是利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。

2，堆（heap）

　　① 堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。

　　② 堆满足以下两点性质：

　　　　Ⅰ 堆是一颗完全二叉树，其添加新节点的顺序是：从上到下，从左到右

　　　　Ⅱ 子节点<= 父节点 或 子节点 >= 父节点

　　③ 堆可以根据节点大小分为大根堆和小根堆，其中，根结点最大的堆为大根堆，根结点最小的堆为小根堆

3，堆影响排序结果

　　　　大根堆的排序结果是升序序列

　　　　小根堆的排序结果是降序序列

4，算法思想（升序）

　　堆排序的本质与选择排序一样，不过堆排序是利用维护堆来进行选择，从而将选择的时间复杂度降下来。

　　具体来讲，堆排序是将有序区设在数组的末尾，然后把无序区的元素构造成大根堆，然后从堆（无序区中）选择一个最大值，交换到无区序的第一个元素 / 最后一个元素p，作为新选择出来的元素添加到有序区。一直循环到无序区为空。

 

二，heapify 函数（堆调整 / 筛选）

　　1，前提说明：

　　　　由于堆是用数组（数组下标从 0 开始）表示的二叉树，所以对于结点 i ，我们就可知道其父节点与两个子节点的下标（如果有的话）

　　　　　　父节点 P：(i - 1) / 2

　　　　　　左子节点 C1：2 * i + 1

　　　　　　右子节点 C2：2 * i + 2

　　2，函数功能：

　　　　（默认子节点以下的所有最小单位的完全二叉树都已经构造成堆）

　　　　将结点 i 及其两个子节点组成的一颗最小单位的完全二叉树，构造成堆，同时递归维护 C1 和 C2 的子孙节点所组成的所有最小单位的堆。

　　　　又因为是尾递归，所以也可以用循环替换。

　　3，注意事项

　　　　① C1 和 C2 要判断有无超出边界，即 C1 和 C2 的下标是否小于 n

　　　　② 函数的递归出口为：子节点 i 的下标大于等于 n

　　　　因为，递归是往从父节点往叶节点遍历，所以只可能是下溢出

 

三，buildHeap 函数（构建堆）

　　1，函数功能

　　　　将一棵完整的完全二叉树构造成堆

　　2，函数思路

　　　　由于 heapify 会递归调用维护下面的堆，所以要构造完整的堆，只需要从下面往上构造：

　　　　　　即从最后一个父结点开始向上调用 heapify

 　　3，最后一个父节点的下标

　　　　　　因为最后一个节点的下标为：n-1，

　　　　　　所以最后一个父节点的下标就是最后一个节点的父节点的下标，即 ((n-1) - 1 ) / 2

 

四，heapSort 函数（堆排序）

　　1，函数功能

　　　　利用堆进行堆排序

　　2，算法思想

　　　　上面有讲。

　　3，算法步骤

　　　　① 将根节点与堆的最后一个节点交换，每次交换后，将最后一个节点踢出堆的区间范围。

　　　　② 用 heapify 函数维护堆

　　　　　　没有必要用 buildHeap函数，因为此时只有根节点所在的最小单位的堆出了问题，其它的最小单位的堆都是正常的。

 

五，堆排序代码

递归

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define N 110
int a[N];
void swap(int i, int j)  // 交换结点位置
{
    int t = a[i];
    a[i] = a[j];
    a[j] = t;
}
void heapify(int n, int i)  // 堆调整
{
    if (2 * i + 1 >= n)
        return;
    int c = 2 * i + 1;
    if (c + 1 < n&&a[c] < a[c + 1]) // 求两个子节点中的较大值
        c++;
    if (a[c] > a[i])
    {
        swap(c, i);    // 将最大值移至父节点
        heapify(n, c); // 递归维护下面的结点
    }
}
void buildHeap(int n)  // 构造堆
{
    int last = n - 1;
    int p = (last - 1) >> 1;  // 最后一个父结点
    for (int i = p; i >= 0; i--)  // 从最后一个父结点开始向上调用 heapify
        heapify(n, i);
}
void heapSort(int n)  // 利用堆进行堆排序
{
    buildHeap(n);
    for (int i = n - 1; i > 0; i--)
    {
        swap(i, 0);     // 交换根节点与堆的最后一个节点
        heapify(i, 0);  // 维护根节点所在的最小单位的堆
    }
}
int main(void)
{
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);

        heapSort(n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            printf("%d ", a[i]);
        puts("");
    }
}

非递归

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define N 110
int a[N];
void swap(int i, int j)  // 交换结点位置
{
    int t = a[i];
    a[i] = a[j];
    a[j] = t;
}
void heapify(int n, int i)  // 堆调整
{
    while (2 * i + 1 < n)
    {
        int c = 2 * i + 1;
        if (c + 1 < n&&a[c] < a[c + 1]) // 求两个子节点中的较大值
            c++;
        if (a[c] > a[i])
        {
            swap(c, i);    // 将最大值移至父节点
            i = c;
        }
        else
            break;
    }
}
void buildHeap(int n)  // 构造堆
{
    int last = n - 1;
    int p = (last - 1) >> 1;  // 最后一个父结点
    for (int i = p; i >= 0; i--)  // 从最后一个父结点开始向上调用 heapify
        heapify(n, i);
}
void heapSort(int n)  // 利用堆进行堆排序
{
    buildHeap(n);
    for (int i = n - 1; i > 0; i--)
    {
        swap(i, 0);     // 交换根节点与堆的最后一个节点
        heapify(i, 0);  // 维护根节点所在的最小单位的堆
    }
}
int main(void)
{
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);

        heapSort(n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            printf("%d ", a[i]);
        puts("");
    }
}

 

 

六，堆排序算法分析

　　空间复杂度

　　　　仅用常数个辅助单元，所以空间复杂度为 O(1)

　　时间复杂度

　　　　建堆时间为 O(n)，之后有 n-1 次堆调整，调整的时间与树高有关，为 O(h)，所以，时间复杂度为 O(nlog2n)

　　算法的稳定性

　　　　因为在 heapSort 函数中，可能把原本在前面的值相同的元素交换到后面去，所以堆排序算法是一种不稳定的排序算法。

 

 

 

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　　寄扬州韩绰判官　　杜牧 唐

青山隐隐水迢迢，秋尽江南草未凋。

二十四桥明月夜，玉人何处教吹箫。