PID自动（反馈）控制

1 自动（反馈）控制

1.1 概述

自动控制（automatic control）是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置，使机器、设备或生产过程的某个工作状态或参数自动地按照预定的规律运行。

1.2 来源与原始形态

自动化控制技术的广泛应用则开始于欧洲的工业革命时期。瓦特在发明蒸汽机的同时，应用反馈原理，于1788年发明了离心式调速器。当负载或蒸汽量供给发生变化时，离心式调速器能够自动调节进气阀的开度，从而控制蒸汽机的转速。

1.3 例子

空调温控，车速控制。

2 PID控制

2.1 闭环自动控制技术的基础

当今的闭环自动控制技术都是基于反馈的概念以减少不确定性。

2.2 反馈理论的要素：测量、比较和执行

测量关键的是被控变量的实际值，与期望值相比较，用这个偏差来纠正系统的响应，执行调节控制。

2.3 PID控制

在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例(proportion)、积分(integral)、微分(derivative)控制，简称PID控制，又称PID调节。

在闭环系统的控制中，可自动对控制系统进行准确且迅速的校正。PID算法已经有100多年历史，在四轴飞行器，平衡小车、汽车定速巡航、温度控制器等场景均有应用。

2.3.1 PID控制原理

r(t)：所需的设定值、目标值；

y(t)：测量的过程输出值、实际值；eg.每0.1s得到的车轮速度。

e(t)：偏差是设定值（目标值）与过程值（实际值）的差（r(t)-y(t))；通过反馈慢慢使之为0。

u(t)：经过计算得到的控制变量，输入到控制器中。

$u(t)=K_p·e(t)+K_d×\frac{e(t)-e(t-1)}{\delta t}$

P : proportion（非负比例系数），就是偏差乘以一个常数。

I : integral（非负积分系数），就是对偏差进行积分运算。

D : derivative（非负微分系数），对偏差进行微分运算。

eg.控制小车：将小车速度设定值r(t)为3m/s，由光电码盘测得速度为3.2m/s，即过程输出值y(t)；偏差e(t)为-0.2m/s。

P：将-0.2m/s乘以一个系数（正）输入到控制器中，以减小输出的占空比，则车轮转速将降低，向设定值靠近。KP越大则调节的灵敏度越大，但过大可能会使实际速度低于3m/s（超调）。

I：只经过比例调节的小车，可能稳定后的速度为3.1m/s，存在稳态误差-0.1m/s；虽然误差很小，但是因为积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大，从而使稳态误差进一步减小，直到等于0。

D：小车中有些组件存在较大惯性或者滞后性，其变化总是落后于误差的变化。假设经比例调节后实际速度为3.1m/s，则设定速度与实际速度的差值由-0.2m/s变为-0.1m/s，e(t)的差分为0.1m/s2，将此差分乘以系数（正）加到控制变量中，相比只有比例环节减缓了速度降低的趋势（减小超调量）。

调整方式	上升时间	超调量	安定时间	稳态误差	稳定性
↑ K_p	减少 ↓	增加 ↑	小幅增加 ↗	减少 ↓	变差 ↓
↑ K_i	小幅减少 ↘	增加↑	增加 ↑	大幅减少↓↓	变差↓
↑ K_d	小幅减少 ↘	减少↓	减少↓	变动不大→	变好 ↑

上表是独立增加参数的影响

2.3.2 PID数学表达

$u(t)=K_pe(t)+K_d\frac{de(t)}{dt}+K_i\int_t^0e(t')dt'$

$K_p,K_i,K_d$都是非负的，先$K_p$(比例项，调整效果最大)，再$K_d$（微分项），最后$K_i$（积分项，消除误差）

2.3.1 PID参数整定

1.PID参数调整特点

难点不是编程，而是控制器的参数整定。

输入r(t)为阶跃响应。下图为不同参数下的输出y(t)响应。

理想：稳定、振高少、收敛快

① $K_p$增加，$K_i$ 、$K_d$不变

②$K_p$不变，$K_i$ 增加（少量增加），$K_d$不变

③$K_p$、$K_i$不变，$K_d$增加

PID系统输出影响：

（1）增大比例系数使系统反应灵敏，调节速度加快，并且可以减小稳态误差。

但比例系数过大会使超调量增大，振荡次数增加，调节时间加长，动态性能变坏，比例系数太大甚至会使闭环系统不稳定。

（2）增大微分系数可以减小超调量和稳定时间。

（3）增大积分系数会减小稳态误差，但会增大超调量和稳定时间。

2.3.4 离散型PID

在计算机上进行PID调节时只能用离散型PID。

假设采样间隔为T，则在第kT时刻：

偏差$e(k) = r(k) - y(k)$

积分环节用加和的形式表示，即$e(k) + e(k-1) + …$

差分环节用斜率的形式表示，即$e(k) - e(k-1)$

从而有位置式PID ：

$u(k)=K_pe(k)+K_d\frac{e(k)-e(k-1)}{\delta t}+K_i·\sum_{j=1}^k e(j)$

由两次的u(k)相减可以得到增量式PID:

$\delta u(k) = u(k) - u(k-1)=K_p[e(k)-e(k-1)]+K_Ie(k)+K_D[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)]$

（1）增大比例系数使系统反应灵敏，调节速度加快，并且可以减小稳态误差。

但是比例系数过大会使超调量增大，振荡次数增加，调节时间加长，动态性能变坏，比例系数太大甚至会使闭环系统不稳定。

（2）增大微分系数可以减小超调量和稳定时间。

（3）增大积分系数会减小稳态误差，但会增大超调量和稳定时间。

PID中三个参数，大体对应于控制系统的三个最重要的方面：

P对应“稳”，即稳定性，放大控制作用；I对应“准”，消除稳态误差；D对应“快”，对误差进行预判、做出快速反应。

3 用控制器使一锅水的温度保持在50℃

1. Kp比例增益

Kp比例控制考虑当前误差，误差值和一个正值的常数Kp（表示比例）相乘。需要控制的量，比如水温，有它现在的当前值，也有我们期望的目标值。

① 当两者差距不大时，就让加热器“轻轻地”加热。

② 要是因为某些原因，温度降低了很多，就让加热器“稍稍用力”加热。

③ 要是当前温度比目标温度低得多，就让加热器“开足马力”加热，尽快让水温到达目标附近。

Kp越大，调节作用越激进，Kp调小会让调节作用更保守。

2. Kd微分增益

Kd微分控制考虑将来误差，计算误差的一阶导，并和一个正值的常数Kd相乘。

当比较接近目标时，P的控制作用就比较小了，越接近目标，P的作用越小。当有很多内在的或者外部的因素，使控制量发生小范围的摆动。由于P在接近目标时的作用小，整个系统不是特别稳定，总是在“抖动”，因此需要一个控制作用，让被控制的物理量的“变化速度”趋于0，即类似于“阻尼”的作用。

D的作用就是让物理量的速度趋于0，只要什么时候，这个量具有了速度，D就向相反的方向用力，尽力刹住这个变化。Kd参数越大，抑制能力就越强。

3. Ki积分增益

Ki积分控制考虑过去误差，将误差值过去一段时间和（误差和）乘以一个正值的常数Ki。设置一个积分量，只要偏差存在，就不断地对偏差进行积分（累加），并反应在调节力度上。

即使与目标值相差不是太大，但是随着时间的推移，只要没达到目标，这个积分量就不断增加。到了目标温度后，假设没有波动，积分值就不会再变动。

Ki的值越大，积分时乘的系数就越大，积分效果越明显，所以，I的作用就是，减小静态情况下的误差，让受控物理量尽可能接近目标值。

4 【走直线的问题】

小车差分驱动（左、右轮分别用电机驱动，通过改变两个电机的转速实现小车前进和转向）仍是主流。

两个电机驱动有差异且不可能完全相同，导致两个轮子转速不同，就使得小车本该直线行驶的轨迹发生偏移。

运转过程中的扰动，如轮子瞬间打滑、有微小的障碍物等因素，都会导致左右轮不同速，从而“走偏”。

5 闭环控制

来源：学会PID-基于板球平衡系统-初中基础就能听懂的简单讲_哔哩哔哩_bilibili 日期：2023/07/27

比例P

偏差量 = 目标量 - 小球位置

比例P = 偏差量 * 比例P系数

执行量 = 比例P

比例P的效果：距离目标量差距越大，把其拉回目标值的力量就越大

比例P的缺点：1.数值固定 2.不辩情形 3.单一时间点

比例P过小可由增幅器（积分I）补充，比例P过大可由抑制器（微分D）补充

积分I

增幅器（积分I）->利用过去累加经验，判断比例P是否需要帮助，从而增加数值

积分I = 积分I + 偏差量 * 积分I系数

①限制幅度

如果积分I>最大值，则令积分I=最大值

如果积分I<最小值，则令积分I=最小值

②不运行时清零

执行量 = 比例P + 积分I

微分D

抑制器（微分D）->预测未来，即用当前偏差量减去上一次偏差量就可能是下一次偏差量

再用下一次偏差量提前参与到计算中，防止P过大产出超出目标的问题

微分D = (偏差量 - 上一次偏差量) * 微分D系数

执行量 = 比例P + 积分I + 微分D

上一次偏差量 = 偏差量

伪代码

#计时
    运行时间 = （系统运行时间（）- 计时）/1000
    计时 = 系统运行时间（）
#PID部分
    for n in range(0,2):
        偏差量[n] = 目标量[n] - 小球位置[n]

        比例P[n] = 偏差量[n] * 比例系数P[n]

        积分I[n] = 积分I[n] + 偏差量[n] * 积分I系数[n] * 运行时间

        if 积分I[n]>积分I最大值[n]:
            积分I[n] = 积分I最大值[n]
        elif 积分I[n]<- 积分I最大值[n]:
            积分I[n]=-积分I最大值[n]
    
        微分D[n] = (偏差量[n] - 上一次偏差量[n]) * 微分D系数[n]/运行时间
        上一次偏差量[n] = 偏差量[n]

        执行量[n] = 比例P[n] + 积分I[n] + 微分D[n]
#控制平台倾斜
    控制平台（执行量）

【注】1.板球平衡需要x轴和y轴独立调节，故需要两套PID

（用for循环让PID运行2次，其中每个变量均由两个元素列表组成，可完成两组PID计算）

积分I与微分D通过时间维度获得，故其与时间息息相关——程序执行速度固定则无需考虑此问题，但程序执行速度会变，则应该考虑时间问题

因为经历了更长时间，所以积分I需要乘时间系数，而微分D预测未来则相反，即除时间系数。

闭环控制和PID的过程

1.设置目标量

2.通过传感器结果获得偏差量

3.偏差量输入PID输出执行量

4.执行量给执行器从而可以纠正执行器，从而达到想达到的效果

5.PID核心是比例P，积分I是增幅器，微分D是抑制器

PID调参的顺序和关联

①比例P：基础运行能力。太小不能达到目标，太大则会超出目标。

②积分I：补足P过小的问题，对小偏差量起作用。太小会使小偏差量无法回正，不能到目标。太大会使系统表现迟钝，导致超出目标。

③微分D：阻止超出目标。太小会超出目标，太大会对误差敏感，导致被调节对象在目标范围附近高频抖动。

调整的例子

假设画面宽度是240，其中舵机角度是50，其中50/240=0.2

step1 调P，计算偏差量和执行量的比例

step2 调D，能限制超出目标。有足够的限制力后，就可以增加P；每个周期小球移动50，抬高5：5/50=0.1。但实测0.1偏大了，所以调小

step3 调I，可以加快回正，解决小偏差。同时也可以减小P

无人机悬停的例子

来源：通俗易懂的 PID 控制算法讲解_哔哩哔哩_bilibili

目的：控制无人机悬停高度

可控部分：无人机螺旋桨的旋转速度（速度越快，螺旋桨产生的升力越大）

开环控制很难使无人机飞行到指定高度，因为无人机受到重力、空气扰动和阻力等各种不确定因素

将误差进行比例放大，微分阻尼，积分误差补偿

PID作为闭环控制单元实现了三个目的：

P是实现当前误差闭环控制，

I是实现过去一段时间Tn内的累积误差控制，

D则是对未来某个时间段Tv内的预测累积误差控制。

所以PID三个增益参数都是对时间状态的预测。

step1 设无人机安装了传感器，可以感知当前飞行高度

→可计算“当前高度”到“目标高度”的误差

→误差值越大，给无人机提供的升力就越大

【$F = 0.01 × error = K_p × error$】

$K_p$越大，升力和误差的比例越大，控制系统响应速度更快，但无人机接近目标高度时振荡更严重

step2 为解决系统震荡，通过微分，计算速度$v=\frac{d(error)}{dt}$→D算法可对无人机速度做出响应

无人机速度过快→D算法抵消一部分P算法计算得到的升力→减缓系统震荡

$K_d$从0.01增大至0.05，无人机震荡明显改善，再增大到比如0.1则会失控！！！所有参数不能被设置的过大！

要找到平衡点，防止过冲。（PID的每一个值被设置的过大都会产生不同的震荡效果，通常在信号处理中会用"过冲"来描述这个现象。）

btw, 工程上说微分默认就是差分

step3 无论如何调整$K_p$或$K_I$值，误差永远不会被消除为0

因为误差存在→无人机升力存在→无人机接近目标高度时，升力和重力会平衡→无人机不再继续上升

故需要累积误差值，让长期误差值得不到修正的无人机有更大的升力，迫使无人机上升

I会对误差累积，提供更大的升力。加入$K_I$让无人机慢慢朝目标高度靠拢，让误差消除为0

I每一次控制循环都会逐渐累加，但是累加的值是根据当前测量的“误差”决定的。如果当前误差逐渐趋于0，那么I就不再累加，逐渐趋于一个固定值。

这个时候整个系统达到稳定，I并不会无止境的一直累加上去的(比如在视频中的例子中，I的这部分会提供一个额外的向上的力，使得无人机能够攀爬到达指定的高度)

事实上，I除了会累“加”也会累“减”，这取决于当前测量的“误差值”的“正负”。

在线模拟程序: https://rossning92.github.io/pid-simulation

算法伪代码

previous_error := 0
integral := 0

loop:
    error := setpoint - measured_value
    integral := integral + error × dt
    derivative := (error - previous_error) / dt
    output := Kp × error + Ki × integral + Kd × derivative
    previous_error := error
    wait(dt)
    goto loop

开源PID库

1.Python https://github.com/m-lundberg/simple-pid

2.C https://github.com/saxbophone/pid

3.Javascript https://github.com/Philmod/node-pid-controller

4.Java https://github.com/tekdemo/MiniPID-ava

【Arduino 101】五分钟搞懂PID控制算法_哔哩哔哩_bilibili

6 PID分类及温度调节实例

来源：假如不调PID，小车会“魔怔”吗？一个例程整明白PID的意义_哔哩哔哩_bilibili

位置式PID

$u(t) = K_p[e(t) + \frac{1}{T_i}\int_0^te(t)dt + T_d\frac{de(t)}{dt}]$

离散位置PID

$u_k = K_p[e_k + \frac{T}{T_i}\sum_{j=0}^k e_j + T_d \frac{e_k-e_{k-1}}{T}]$

$K_p$控制器比例系数

$T_i$控制器积分时间，$\frac{K_p}{T_i}$积分系数

$T_d$控制器微分时间，$K_p · T_d$微分系数

比例调节(P)

成比例的反映控制系统的偏差信号。
偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。
通常随着值的加大，闭环系统的超调量加大，系统响应速度加快；但是当增加到一定程度，系统会变得不稳定。

积分调节（I）

积分控制器不断积累系统误差，输出控制量，直至无差。
强弱取决于积分时间常数T,越小，积分作用就越强。
积分作用太强会使系统超调加大，甚至使系统出现振荡。

微分调节(D)

微分控制可以减小超调量，克服振荡，提高系统稳定性。
加快系统的动态响应速度，减小调整时间，从而改善系统的动态性能。

【舵机采用的】位置式PID优缺点

优点：1.非递推式算法可直接控制执行机构

2.在执行机构不带积分部件的对象中可以很好应用

缺点：1.每次输出均与过去的状态有关

2.计算时要对e(k)进行累加，运算工作量大

【电机采用的】增量式PID优缺点

优点：1.误动作时影响小，必要时可以通过逻辑判断的方法去掉出错数据

2.手动自动切换的冲击小，便于实现无扰动切换（计算机出现故障或单片机出现数据扰动时，PID仍能保持原值）

3.算式中不需要累加

缺点：积分截断效应大，有稳态误差

PID变式

位置式PID

增量式PID

串接式PID

积分分离式PID

ADRC

其他

基于Arduino的自动空调温度测试器

实际生活中，需要在一天中的不同时间将空调的设定温度改变成不同的值，以始终保持舒适的环境。
测试器使用温度传感器(DHT11)读取房间的当前温度。
通过一个类似于空调遥控器的红外发射器向空调发送PID运算的输出指令。
随着房间温度的变化，Arduino也会调整空调设定温度。

int main(void)
{
init();
setup();
for(;;){
loop();
if (serialEventRun)serialEventRun();
}
Return 0;
}
void setup(){
Serial.begin(9600);
Initialize device.
dht.begin();
Serial.println(F("DHTxx Unified Sensor Example));
//Print temperature sensor details.
sensor_t sensor;
dht.temperature().getSensor(&sensor);
Serial.println(F("-------------------------"));
Serial.println(F("Temperature Sensor"));
Serial.print (F("Sensor Type:"));Serial.println(sensor.name);
Serial.print (F("Driver Ver:"));Serial.println(sensor.version);
Serial.print (F("Unique ID:"));Serial.println(sensor.sensor_id);
Serial.print (F("Max Value:"));Serial.print(sensor.max_value);
Serial.println(F("C"));
Serial.print (F("Min Value:"));Serial.print(sensor.min_value);
Serial.println(F("C"));
Serial.print (F("Resolution:"));Serial.print(sensor.resolution);
Serial.println(F("C"));
Serial.printin((F("-------------------------"));
//Print humidity sensor details.
dht.humidity().getSensor(&sensor);
Serial.println(F("Humidity Sensor"));
Serial.print (F("Sensor Type: "));Serial.println(sensor.name);
Serial.print (F("Driver Ver: "));Serial.println(sensor.version);
Serial.print (F(Unique ID: "));Serial.println(sensor.sensor_id);
Serial.print (F("Max Value: "));Serial.print(sensor.max_value);
Serial.println(F("%"));
Serial.print (F("Min Value: "));Serial.print(sensor.min_value);
Serial.println(F("%"));

Serial.print (F(Resolution:"));Serial.print(sensor.resolution);
Serial.println(F("%"));
Serial.println((F("-------------------------"));
//Set delay between sensor readings based on sensor details.
delayMS sensor.min_delay 1000;
void loop(){
//Delay between measurements.
delay(delayMS);
//Get temperature event and print its value.
sensors_event_t event;
dht.temperature().getEvent(&event);
if (isnan(event.temperature)){
Serial.println(F("Error readina temperature!"));
}
else{
Serial.print(F(Temperature:"))
Serial.print(event.temperature);
Serial.println(F("C"));
}
//Get humidity event and print its value.
dht.humidity0.getEvent(&event);
if (isnan(event.relative_humidity)){
Serial.println(F("Error reading humidity!"));
}
else{
Serial.print(F("Humidity:"));
Serial.print(event.relative_humidity);
Serial.println(F(%"));
}
}

7 PID控制详述

来源：5分钟，带你推导位置式PID和增量式PID公式~_哔哩哔哩_bilibili

增量式PID的优势

up主洋葱auto认为，之所以要分增量式PID是因为：

1.有的控制系统只需要输出控制增量，比如步进电机的控制。这种情况下用增量式正合适，没有积分计算，计算量也小。
2.对PID进行优化的时候，例如微分先行PID采用增量式PID表达式的时候，优化后的PID公式更简单，编程更容易，所以许多人喜欢用增量式表达式。
3.有的场景下需要做手动控制和自动控制的切换，用增量式表达式可以实现无扰切换。
增量式表达式由于每次输出都是基于上次的结果+增量部分的计算结果，因此切换的时候只有增量部分会重新计算，最后的输出扰动很小。
而位置式的要重新计算，PID控制的输出会比较大。