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3 傅里叶变换
- s域是频域的扩展,当f(t)不满足绝对可积的时候,它的傅立叶变换是不存在的。因此,让信号乘以一个衰减系数,使它变得绝对可积。
- 拉氏变换有一个超大的好处,它能把时域的微分运算变成s的代数运算。
- z变换主要应用在采样方面的分析。对于系统来说,计算出它的传递函数再乘以采样保持环节的传递函数,再进行z变换,就得出了整个系统的z变换。
看这篇→信号与系统傅里叶级数、傅里叶变换及常用变换对和三角函数公式
4 频谱密度性质
1.线性性质:af1(t)+bf2(t)↔aF1(ω)+bF2(ω)
2.函数下面积:f(t)=12π∫∞−∞F(ω)ejωtdω
推论:可以用来检验傅里叶变换结果
①f(0)是F(ω)的面积除2π:f(0)=12π∫∞−∞F(ω)dω
②F(0)是f(t)全部面积:F(0)=∫∞−∞f(t)dt
3.对称性:F(t)↔2πf(−ω)
4.比例性质:f(at)↔1|a|F(ω/a)
(时域扩展a倍,频域压缩为原来1a)
时间倒转性质f(−t)↔F(−ω)
f(t)是偶函数,则F(ω)也是偶函数
5.共轭性质:f∗(t)↔F∗(−ω)
6.时移性质:f(t±t0)↔F(ω)e±jwt0
信号的延迟增加线性相位,不影响振幅
7.频移性质:f(t)ejω0t↔F(ω−ω0)
通信系统常用的调制→频谱搬移(频谱熵将某信号频谱搬移\omega_0,只需在时间域上乘e^{j\omegat_0})
f(t)cosω0t=f(t)⋅12[ejω0t+e−jω0t]↔12F(ω−ω0)+12F(ω+ω0)
f(t)sinω0t=f(t)⋅12j[ejω0t−e−jω0t]↔12jF(ω−ω0)−12jF(ω+ω0)
8.卷积性质:fc(t)=f1(t)∗f2(t)=∫∞−∞f1(τ)f2(t−τ)dτ
①时域卷积相当于频域相乘
f1(t)∗f2(t)↔F1(ω)F2(ω)
②时间域乘积相当于频域卷积再除12π
f1(t)f2(t)↔12πF1(ω)∗F2(ω)
③交换律、结合律、分配律
9.微分性质
①df(t)dt↔jω⋅F(ω)
dnf(t)dtn↔(jω)n⋅F(ω)
②−jt⋅f(t)↔dF(ω)dω
(−jt)n⋅f(t)↔dnF(ω)dωn
10.积分性质:∫t−∞f(τ)dτ↔πF(0)δ(ω)+1jωF(ω)
11.能量和频谱关系:帕萨瓦尔Parseval定理(能量守恒:信号能量按其频谱模的平方在频域内分布)
E=∫∞−∞|f(t)|2dt=12π∫∞−∞|F(ω)|2dω
5 能量谱和功率谱
1.能量信号与能量密度谱:
能量信号f(t)的能量谱密度 ,简称能量谱E(ω)=|F(ω)|2,单位J/Hz
和信号频谱相位无关,只和振幅谱有关
E=12π∫∞−∞E(ω)dω
2.功率信号与功率密度谱:
有无限能量、 但功率有限
功率P=limτ→∞1τ∫τ2−τ2|f(t)|2dt<M<∞
功率谱P(ω)=limτ→∞1τ|Fτ(ω)|2
功率信号的Parseval定理:P=12π∫∞−∞P(ω)dω
3.周期信号的功率谱:P(ω)=2π∞∑k=−∞|Ck|2⋅δ(ω0−kω0)
6 确定信号通过线性时不变系统
1 系统的输入为f(t),输出响应为g(t):T[f(t)]=g(t)
2 满足T[∑iaifi(t)]=∑iaigi(t)为线性系统(一系列输入信号之和的响应等于各个信号的响应之和)
3 输入信号延迟t时 ,其输出也相应延迟T[f(t−τ)]=g(t−τ)
4 任意信号和冲激信号的卷积是该信号本身f(t)=∫∞−∞f(τ)δ(t−τ)dτ
冲激函数在所有频率上具有相同的幅度,用它来作为系统的输入 ⇔ 同时用所有可能频率的同等幅度的正弦波来测试该系统。
5 系统的冲激响应(表征该系统的一个时间函数):系统对冲激函数的时间响应
T[δ(t)]=h(t)
线性时不变系统在时间域上可以唯一地用冲激响应来描述
6
系统的频率函数(系统在频率域的唯一描述)系统冲激响应h(t)的傅里叶变换
H(ω)↔h(t)
g(t)由输入与系统冲激响应的卷积运算确定
g(t)=T[f(t)]=∫∞−∞f(τ)δ(t−τ)dτ
- 对于卷积,输出的存在时间总是大于输入信号的存在时间
- 时间域内卷积是线性时不变系统与传输信号之间相互作用一般且完备的描述
例题:时域与频域求解对比(具体问题具体分析)
本题用到了傅里叶变换对e−atu(t)↔1a+jw
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无失真传输与理想滤波器
滤波: 系统的改变输入信号频谱的作用
低通滤波系统:输出响应的频谱 G(s)的高频成分受到了明显的抑制, 输入变化急剧的部分在输出中被平滑了
1.无失真传输
输出波形和输入波形一致,只允许改变幅度和增加一定时延
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该系统的冲激响应是输入的冲激信号延迟了时间τ并乘以一个比例常数 K
线性相位:振幅谱是与频率无关的常数 ,相位谱为−ωτ
2.理想滤波器
上面的系统的要求过于高了,可能造成资源浪费
信号的带宽:任何一种形式的实际信号所占的一定的频率范围
在该带宽内满足无失真条件即可,所以可以用
理想滤波器
(在滤波器的通带内所有频率成分都可以无失真地通过 ,而通带外的频率成分则完全被衰减掉;
分类:低通 、高通 、带通或带阻;非因果性系统,“理想”,意味着物理不可实现,但仍有讨论的意义)
理想低通滤波器的冲激响应h(t)=wcπSa[wc(t−t0)]
3.理想低通滤波器的阶跃响应
g(t)=12+1π∫wc(t−t0)0sinxxdx
【记正弦积分】
Si(x)=∫x0sinττdτ,Si[∞]=π2,Si[−∞]=−π2
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故g(t)=12+1πSi[wc(t−t0)]
7 确定信号的相关
某些通信、雷达 、遥测等信息系统中 ,接收端要获取信息 ,必须从受到干扰和噪声影响 而畸变了的接收波形中判定信号的存在与否。
将已知波形与接收波形相比较 ,利用其相似程度来判断发送信号是否出现。
1.均方差到相关系数
两个信号波形是否相同的度量指标
为去除幅度相差的影响,对其中一个信号乘以一最佳常数α后可化为相关系数
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、
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【结论】两个频率相同的正弦信号间的相关系数是这两个信号之间相位差的余弦函数ρ(x1,x2)=cosθ
相位差为θ=π2+kπ,k=0,±1,±2,…时,ρ(x1,x2)=0,两信号“正交/不相关”
2.相关函数
x∗(t)是共轭,虽然大部分考题应该是实信号吧
(1)互相关函数x1(t),x2(t)
能量R12(τ)=∫∞−∞x1(t)x∗2(t−τ)dt
功率R12(τ)=limT→∞1T∫T2T2x1(t)x∗2(t−τ)dt
周期R12(τ)=1T∫T2T2x1(t)x∗2(t−τ)dt
(2)自相关函数x1(t)=x2(t)=x(t)
能量R12(τ)=∫∞−∞x(t)x∗(t−τ)dt
功率R12(τ)=limT→∞1T∫T2T2x(t)x∗(t−τ)dt
周期R12(τ)=1T∫T2T2x(t)x∗(t−τ)dt
3.相关函数的性质
①频谱
能量信号
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维纳辛钦定理:
能量信号自相关函数的傅里叶变换是信号的能量谱
功率信号自相关函数的傅里叶变换为信号的功率谱
②最大值
能量信号自相关函数在τ=0时有最大值,最大值为信号的能量
功率信号自相关函数在τ=0时有最大值,最大值为信号的功率
【注】互相关函数在τ=0时不一定有最大值
R12(0)交叉能量
、功率
③共轭对称性Rx(τ)=R∗x(−τ)
④对比相关和卷积
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相同:时延、相乘、积分
不同:卷积反转,相关共轭
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