确定性信号分析

信号可以用一个时间函数来表示

1 信号的表示

信号的形式多种多样，所以直接对信号本身进行分析和处理是比较困难的

常采用的方法是将一般的复杂信号展开成各种类型的基本信号之和或积分

当信号通过线性系统时， 输出响应可以用这些基本信号的响应之和或积分来求取

基本信号的主要特点是： 实现比较简单 ，或者分析比较简单，或都简单

信号表示的历史

最初较易产生与处理的信号是连续简谐信号，所以都用简谐信号作为分解的基本信号
随着对离散信号的研究日益深入 ，可用做分解的基本信号也越来越多
Eg. 抽样信号（其极限是冲激函数）和只有两值的函数（沃尔什函数）

信号表示的条件——正交

把信号分解成一组基本信号的线性组合，这些基本信号的集合一般满足正交条件。

f1(t)与f2(t)正交的条件：$\displaystyle{\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2^*(t)dt=0}$

$f_2^*(t)$是f2(t)的共轭

k≠n时，可扩展到时间的无穷区间
$\displaystyle{\int_{-\infin}^{\infin}f_k(t)f_n^*(t)dt=0}$

周期信号的离散频谱

• 周期信号的傅里叶级数表示式、周期信号的综合公式

一个周期为 T 的信号f(t)可分解为

$\displaystyle{f(t)=\sum_{k=-\infin}^{\infin}C_ke^{j\frac{2\pi}{T}kt}=\sum_{k=-\infin}^{\infin}C_ke^{jk\omega_0t}}$

$\displaystyle{\omega_0=\frac{2\pi}{T}, -\frac{T}{2}\leq t \leq \frac{T}{2}}$称为周期信号$f(t)$的基频（角频率）

• 周期信号的分析公式

$\displaystyle{C_k=\alpha_k+j\beta_k=\frac{1}{T}\int_Tf(t)e^{-j\omega_0t}dt}$

在选取有限项来近似信号时 ，系数C_k在均方误差最小的意义上是最佳选取。

$N→∞$时 ，均方误差$ E $趋于零 ，傅里叶级数之和趋近于周期信号$f(t)$

1.分析（英语：Analysis）是在头脑中把事物或对象由整体分解成各个部分或属性。

2.综合（Composite）是在头脑中把事物或对象的各个部分与属性联合为一个整体。

综合把分析过的对象或现象的各个部分、各个属性联合成一个统一的整体，与“分析”相对。

• 任意周期实信号可由其直流分量和各个相位为θk、 振幅为2|Ck|的谐波分量合成

$\displaystyle{f(t)=C_0+\sum_{k=1}^{\infin}2|C_k|cos(k\omega_0t+\theta_k)}$

$2|C_k|$：信号第k次谐波振幅

$\theta_k$：信号第k次谐波的相位

• 周期实信号$ f(t)$， 还可以用一组$｛coskw0t, sinkw0t｝$ 的正交三角函数来组合表示

$\displaystyle{f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infin}a_kcosk\omega_0t+\sum_{k=1}^{\infin}b_ksink\omega_0t}$

$\displaystyle{a_0=\frac{2}{T}\int_Tf(t)dt, a_k=\frac{2}{T}\int_Tf(t)cosk\omega_0tdt}$

$\displaystyle{b_k=\frac{2}{T}\int_Tf(t)sink\omega_0tdt, k=1, 2, 3, …}$

周期信号的简谐波展开

 

k=0， 信号的直流分量

$\displaystyle{C_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt=\frac{1}{T}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}Adt=\frac{A\tau}{T}}$

$\displaystyle{C_k=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jk\omega_0t}dt=\frac{1}{T}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}Ae^{-jk\omega_0t}dt=\frac{A\tau}{T}\big[ \frac{sin(\frac{k\omega_0\tau}{2})}{\frac{k\omega_0\tau}{2}} \big]=\frac{A\tau}{T}Sa\frac{k\omega_0\tau}{2}=\frac{A\tau}{T}Sa\frac{k\pi\tau}{T}}$

周期性矩形脉冲序列 $f(t)$的傅里叶级数展开式

$\displaystyle{f(t)=\sum_{k=-\infin}^{\infin}\frac{A\tau}{T}\frac{k\omega_0\tau}{2}e^{-jk\omega_0t}}$

$f(t)$由各个基本信号$e^{jkw0t}$线性组合而成 ，系数$C_k$：各个基本信号的振幅和相位

借用光谱学的术语，称${C_k}$为周期信号的离散频谱

性质

1.线性：周期信号$af_1(t)+bf_2(t)$的离散频谱为$aC_{1k}+bC_{2k}$

2.对称性：

①$C_k=C_{-k}^*$

$|C_k|=|C_{-k}|, \theta_k=-\theta_{-k} $或$\alpha_k=\alpha_{-k}, \beta_k=-\beta_{-k}$

②周期实偶信号$f(t)$

$\alpha_k=\alpha_{-k}, \beta_k=-\beta_{-k}$（周期实信号）

$f(t)=f(-t)$（偶函数）

离散频谱$C_k$是$kw_0$的实偶函数，振幅谱以纵轴为中轴对称，相位谱为零

③周期实奇信号f(t)离散频谱$C_k$是$kw_0$的实偶函数，振幅谱以纵轴为中轴对称，相位谱奇对称

3.周期信号f(t)的平均功率$\displaystyle{P=\frac{1}{T}\int_T|f(t)|^2dt}$（按各谐波成分振幅大小分配给各分量）

其离散频谱为$C_k$时，平均功率$\displaystyle{P=\sum_{k=-\infin}^\infin|C_k|^2}$（表示信号功率分配规律）

信号的能量在时域和频域相等

4.截断离散频谱高频成分带来的失真——吉布斯现象
实际处理时会忽略无穷级数的一些项，此时会带来一些失真，可估计离散频谱忽略高频谱线后引入的误差
有限项截断后
①傅里叶级数最小均方误差意义上，对原信号最逼近。N→∞，误差将单调趋于0。
②【吉布斯现象】在f(t)的间断点有过冲，过冲高度不随N→∞减至0

下图方波，$t= \pm \frac{T}{4}$附近，叠加波形9%过冲

抽样函数Sa

$\displaystyle{Sax=\frac{sinx}{x}}$

有些文献中定义的辛格函数$\displaystyle{sincx=\frac{sin\pi x}{\pi x}}$

与抽样函数的关系$\displaystyle{sincx=Sa\pi x}$

周期性矩形脉冲序列f(t)频谱

$\displaystyle{C_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}Adt=\frac{A\tau}{T}}$

$\displaystyle{C_k=\frac{A\tau}{T}Sa\frac{k\omega_0\tau}{2}=\frac{A\tau}{T}Sa\frac{k\pi\tau}{T}}$

周期T越大，其谱线间隔窄$\frac{2\pi}{T}$就越小，频谱越密

T→∞，信号为$\tau$宽度的单脉冲，频谱变连续，频谱包络不变

∴周期信号→非周期能量信号

能量型信号f(t)的能量是有限值（只在$t_1~t_2$存在，其他时间之外为0）

$\displaystyle{\int^{t_2}_{t_1}|f(t)|^2dt<M<\infin}$

$f(t)$以T重复，但不重叠→$f_T(t)$信号（$T>t_2-t_1$）

周期信号蜕变为能量信号$\displaystyle{\mathop{\lim}_{T \to \infin}=f(t)}$

傅里叶级数展开$\displaystyle{f_T(t)=\sum_{k=-\infin}^{\infin}C_ke^{jk\omega_0t}}$

傅里叶级数 （$T$内，$f_T(t)=f(t)$；其他时间，$f(t)=0$）

包络$\displaystyle{TC_k=F(w)=\int_{-\infin}^{\infin}f(t)e^{-jwt}dt}$

此后

$\displaystyle{C_k=\frac{1}{T}F(k\omega_0)}$

$\displaystyle{f_T(t)=\sum_{k=-\infin}^{\infin}\frac{1}{T}F(k\omega_0)e^{jk\omega_0t}=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infin}^{\infin}F(k\omega_0)e^{jk\omega_0t · \omega_0}}$

当$\displaystyle{T→∞，f_T(t)→f(t),w0→t}$，上式右边变成积分

$\displaystyle{f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{\infin}F(w)e^{jwt}dw}$

傅里叶变换对

$f(t) \leftrightarrow F(\omega)$

$F(\omega) = \mathscr{F}[f(t)]$

$f(t) = \mathscr{F} ^{-1}[F(\omega)]$ 

非周期能量信号也可以在频率域上表示，F(w)是f(t)的连续频谱

2 连续频谱

信号 f(t)(能量型信号和部分功率型信号)的傅里叶变换F(w)为信号的连续频谱密度函数， 简称连续频谱

$F(w)=\int_{-\infin}^{\infin}f(t)e^{-jwt}dt$

幅相频谱密度

$F(\omega)=|F(\omega)|e^{j\varphi(\omega)}$

|F(w)|振幅（密度）谱

φ(w)相位（密度）谱

R(w)实部，I(w)虚部

3 傅里叶变换

1. s域是频域的扩展，当f(t)不满足绝对可积的时候，它的傅立叶变换是不存在的。因此，让信号乘以一个衰减系数，使它变得绝对可积。
2. 拉氏变换有一个超大的好处，它能把时域的微分运算变成s的代数运算。
3. z变换主要应用在采样方面的分析。对于系统来说，计算出它的传递函数再乘以采样保持环节的传递函数，再进行z变换，就得出了整个系统的z变换。

看这篇→信号与系统傅里叶级数、傅里叶变换及常用变换对和三角函数公式 

4 频谱密度性质

1.线性性质：$af_1(t)+bf_2(t)\leftrightarrow aF_1(\omega)+bF_2(\omega)$

2.函数下面积：$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{\infin}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$

推论：可以用来检验傅里叶变换结果

①$f(0)$是$F(\omega)$的面积除$2\pi$：$f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{\infin}F(\omega)d\omega$

②$F(0)$是$f(t)$全部面积：$F(0)=\int_{-\infin}^{\infin}f(t)dt$

3.对称性：$F(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\omega)$

4.比例性质：$f(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|}F(\omega/a)$

（时域扩展$a$倍，频域压缩为原来$\frac{1}{a}$）

时间倒转性质$f(-t) \leftrightarrow F(-\omega)$

$f(t)$是偶函数，则$F(\omega)$也是偶函数

5.共轭性质：$f*(t) \leftrightarrow  F*(-\omega)$

6.时移性质：$f(t±t_0)\leftrightarrow F(\omega)e^{±jwt_0}$

信号的延迟增加线性相位，不影响振幅

7.频移性质：$f(t)e^{j\omega_0t} \leftrightarrow F(\omega-\omega_0)$

通信系统常用的调制→频谱搬移（频谱熵将某信号频谱搬移\omega_0，只需在时间域上乘e^{j\omegat_0}）

$f(t)cos\omega_0t=f(t) · \frac{1}{2}[e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t}]\leftrightarrow \frac{1}{2}F(\omega-\omega_0)+\frac{1}{2}F(\omega+\omega_0)$

$f(t)sin\omega_0t=f(t) · \frac{1}{2j}[e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}]\leftrightarrow \frac{1}{2j}F(\omega-\omega_0)-\frac{1}{2j}F(\omega+\omega_0)$

8.卷积性质：$\displaystyle{f_c(t)=f_1(t)\ast f_2(t)=\int_{-\infin}^{\infin}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau}$

①时域卷积相当于频域相乘

$f_1(t)\ast f_2(t)\leftrightarrow F_1(\omega)F_2(\omega)$

②时间域乘积相当于频域卷积再除$\frac{1}{2\pi}$

$f_1(t)f_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega)$

③交换律、结合律、分配律

9.微分性质

①$\frac{df(t)}{dt}\leftrightarrow j\omega · F(\omega)$

$\frac{d^nf(t)}{dt^n}\leftrightarrow (j\omega)^n · F(\omega)$

②$-jt · f(t) \leftrightarrow \frac{dF(\omega)}{d\omega }$

 $(-jt)^n · f(t) \leftrightarrow \frac{d^nF(\omega)}{d\omega ^n}$

10.积分性质：$\int_{-\infin}^tf(\tau)d\tau \leftrightarrow \pi F(0)\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}F(\omega) $

11.能量和频谱关系：帕萨瓦尔Parseval定理（能量守恒：信号能量按其频谱模的平方在频域内分布）

$E=\int_{-\infin}^{\infin}|f(t)|^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{\infin}|F(\omega)|^2d\omega$

5 能量谱和功率谱

1.能量信号与能量密度谱：

能量信号f(t)的能量谱密度 ，简称能量谱$E(\omega)=|F(\omega)|^2$，单位$J/Hz$

和信号频谱相位无关，只和振幅谱有关

$E=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{\infin}E(\omega)d\omega$

2.功率信号与功率密度谱：

有无限能量、 但功率有限

功率$P=\mathop{lim}_{\tau \to \infin}\frac{1}{\tau}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}|f(t)|^2dt<M<\infin$

功率谱$P(\omega)=\mathop{lim}_{\tau \to \infin}\frac{1}{\tau}|F_\tau (\omega)|^2$

功率信号的Parseval定理：$P=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{\infin}P(\omega)d\omega$

3.周期信号的功率谱：$\displaystyle{P(\omega)=2\pi\sum_{k=-\infin}^{\infin}|C_k|^2 · \delta(\omega_0-k\omega_0)}$

6 确定信号通过线性时不变系统

1 系统的输入为f(t),输出响应为g(t)：$T[f(t)]=g(t)$

2 满足$T[\sum_i a_i f_i(t)]=\sum_i a_i g_i(t)$为线性系统（一系列输入信号之和的响应等于各个信号的响应之和）

3 输入信号延迟t时 ，其输出也相应延迟$T[f(t-\tau)]=g(t-\tau)$

4 任意信号和冲激信号的卷积是该信号本身$f(t)=\int^{\infin}_{-\infin}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$
冲激函数在所有频率上具有相同的幅度，用它来作为系统的输入  $\Leftrightarrow$ 同时用所有可能频率的同等幅度的正弦波来测试该系统。

5 系统的冲激响应（表征该系统的一个时间函数）：系统对冲激函数的时间响应$T[\delta(t)]=h(t)$

线性时不变系统在时间域上可以唯一地用冲激响应来描述

6 系统的频率函数（系统在频率域的唯一描述）系统冲激响应h(t)的傅里叶变换$H(\omega)\leftrightarrow h(t)$

g(t)由输入与系统冲激响应的卷积运算确定

$g(t)=T[f(t)]=\int^{\infin}_{-\infin}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$

• 对于卷积，输出的存在时间总是大于输入信号的存在时间

• 时间域内卷积是线性时不变系统与传输信号之间相互作用一般且完备的描述

例题：时域与频域求解对比（具体问题具体分析）

本题用到了傅里叶变换对$e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a+jw}$

 

无失真传输与理想滤波器

滤波： 系统的改变输入信号频谱的作用

低通滤波系统：输出响应的频谱 G(s)的高频成分受到了明显的抑制， 输入变化急剧的部分在输出中被平滑了

1.无失真传输

输出波形和输入波形一致，只允许改变幅度和增加一定时延

该系统的冲激响应是输入的冲激信号延迟了时间$\tau$并乘以一个比例常数 $K$

线性相位：振幅谱是与频率无关的常数 ，相位谱为$-\omega \tau$

2.理想滤波器

上面的系统的要求过于高了，可能造成资源浪费

信号的带宽:任何一种形式的实际信号所占的一定的频率范围

在该带宽内满足无失真条件即可，所以可以用理想滤波器

（在滤波器的通带内所有频率成分都可以无失真地通过 ，而通带外的频率成分则完全被衰减掉；

分类：低通 、高通 、带通或带阻；非因果性系统，“理想”，意味着物理不可实现，但仍有讨论的意义）

理想低通滤波器的冲激响应$\displaystyle{h(t)=\frac{w_c}{\pi}Sa[w_c(t-t_0)]}$

3.理想低通滤波器的阶跃响应

$g(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_0^{w_c(t-t_0)}\frac{sinx}{x}dx$

【记正弦积分】
$S_i(x)=\int_0^{x}\frac{sin\tau}{\tau}d\tau, S_i[\infin]=\frac{\pi}{2}, S_i[-\infin]=-\frac{\pi}{2}$ 

故$g(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}S_i[w_c(t-t_0)]$

7 确定信号的相关

某些通信、雷达 、遥测等信息系统中 ，接收端要获取信息 ，必须从受到干扰和噪声影响 而畸变了的接收波形中判定信号的存在与否。

将已知波形与接收波形相比较 ，利用其相似程度来判断发送信号是否出现。

1.均方差到相关系数

两个信号波形是否相同的度量指标

• 无法反映两波形相似但幅度相差较大的信号的相似程度
  

为去除幅度相差的影响，对其中一个信号乘以一最佳常数α后可化为相关系数

、

 【结论】两个频率相同的正弦信号间的相关系数是这两个信号之间相位差的余弦函数$\rho(x_1,x_2)=cos\theta$

相位差为$\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi, k=0, ±1, ±2, …$时，$\rho(x_1,x_2)=0$，两信号“正交/不相关”

2.相关函数

$x^*(t)$是共轭，虽然大部分考题应该是实信号吧

(1)互相关函数$x_1(t), x_2(t)$

能量$\displaystyle{R_{12}(\tau)=\int_{-\infin}^{\infin}x_1(t)x_2^*(t-\tau)dt}$

功率$\displaystyle{R_{12}(\tau)=\mathop{lim}_{T\to \infin}\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{\frac{T}{2}}x_1(t)x_2^*(t-\tau)dt}$

周期$\displaystyle{R_{12}(\tau)=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{\frac{T}{2}}x_1(t)x_2^*(t-\tau)dt}$

(2)自相关函数$x_1(t) = x_2(t)=x(t)$

能量$\displaystyle{R_{12}(\tau)=\int_{-\infin}^{\infin}x(t)x^*(t-\tau)dt}$

功率$\displaystyle{R_{12}(\tau)=\mathop{lim}_{T\to \infin}\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{\frac{T}{2}}x(t)x^*(t-\tau)dt}$

周期$\displaystyle{R_{12}(\tau)=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{\frac{T}{2}}x(t)x^*(t-\tau)dt}$

3.相关函数的性质

①频谱

能量信号
维纳辛钦定理：能量信号自相关函数的傅里叶变换是信号的能量谱

功率信号自相关函数的傅里叶变换为信号的功率谱

②最大值

能量信号自相关函数在$\tau=0$时有最大值，最大值为信号的能量
功率信号自相关函数在$\tau=0$时有最大值，最大值为信号的功率

【注】互相关函数在$\tau=0$时不一定有最大值

$R_{12}(0)$交叉能量、功率

③共轭对称性$R_x(\tau)=R^*_x(-\tau)$

④对比相关和卷积

相同：时延、相乘、积分
不同：卷积反转，相关共轭