HDOJ 5667 Sequence//费马小定理 矩阵快速幂

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5667

题意：如题给了一个函数式，给你a,b,c,n,p的值，叫你求f(n)％p的值

思路：先对函数取以a为底的log，令g(n)=log(a)(f(n)),结果就能得到

g(n)=b+c*g(n-1)+g(n-2);(n>3)

g(n)=0;(n=1)

g(n)=b;(n=2)

　　　　　　　　　　g(n) 　　 c  1  1　　  g(n-1)

用矩阵表示出来就是　g(n-1) = 1  0  0    *  g(n-2)

　　　　　　　　　　   b　　　 0  0 1　　　　b

设中间的矩阵为A 那么要求g(n)就是用A^(n-2)*g(2)来求得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　g(1)　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  b

而我们要求的是 f(n)%p,f(n)=a^g(n),很明显g(n)是会爆的，那么因为p是质数，所以f(n)%p=(a^(g(n)%(p-1))%p

用快速幂一样的思路来模拟矩阵的乘法就行了

矩阵的乘法三个for循环就能写掉

for(int i=1;i<=n;i++)

　　for(int j=1;j<=n;j++)

　　　　for(int k=1;k<=n;k++)

　　　　　　tmp[i][j]=(tmp[i][j]+a[i][k]*b[k][j]);

然后设置三个矩阵，一个初始化为单位矩阵用来存储答案，一个存储当前的值，一个用来计算。

之后求出了g(n)的值之后，对原式还是要做一次快速幂，注意特判a％p＝＝0的情况，0^0=1不处理

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <math.h>
using namespace std;
long long  x[10][10];
long long  y[10][10];
long long  t;
long long  n,a,b,c,p;
long long qpow1(long long a1,long long n1 )
{
    long long ans=1;
    while(n1)
    {
        if(n1&1)
            ans=ans*a1%p;
        a1=a1*a1%p;
        n1>>=1;
    }
    return ans;
}
void qpow(long long n1)
{
    long long  tmp[10][10];
    memset(x,0,sizeof(x));
    for(int i=0;i<3;i++)
        x[i][i]=1;
    
    while(n1)
    {
        memset(tmp,0,sizeof(tmp));
        if(n1&1)
        {
            for(int i=0;i<3;i++)
            {
                for(int j=0;j<3;j++)
                {
                    for(int k=0;k<3;k++)
                    {
                        tmp[i][j]=(tmp[i][j]+x[i][k]*y[k][j]) % (p-1);
                    }
                }
            }
            for(int i=0;i<3;i++)
                for(int j=0;j<3;j++)
                    x[i][j]=tmp[i][j];
        }
        memset(tmp,0,sizeof(tmp));
        for(int i=0;i<3;i++)
        {
            for(int j=0;j<3;j++)
            {
                for(int k=0;k<3;k++)
                {
                    tmp[i][j]=(tmp[i][j]+y[i][k]*y[k][j]) % (p-1);
                }
            }
        }
        for(int i=0;i<3;i++)
            for(int j=0;j<3;j++)
                y[i][j]=tmp[i][j];
        n1>>=1;
    }
}
int main()
{
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&n,&a,&b,&c,&p);
        if(a%p==0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        memset(y,0,sizeof(y));
        y[0][0]=c,y[0][1]=1,y[0][2]=1;
        y[1][0]=1,y[1][1]=0,y[1][2]=0;
        y[2][0]=0,y[2][1]=0,y[2][2]=1;
        qpow(n-2);
        long long ans1=(x[0][0]*b+b*x[0][2])%(p-1);
        printf("%lld\n",qpow1(a,ans1));
    }
    return 0;
}