4 - 高级加密标准 (AES)

高级加密标准 (AES)

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原书：《Understanding Cryptography: A Text book for Students and Practitioners》

AES: Advanced Encryption Standard 是今天使用最广的对称加密运算。尽管 AES 中的标准是美国政府应用的标准，AES 块运算加密算法依旧在很多工业标准以及商务系统中使用。包括 AES 安全商务安全标准的有网络安全标准 IPsec、TLS、Wi-Fi 加密标准 IEEE 802.11i、SSH、Skype 以及数不清的安全产品。迄今为止，破解 AES 的最好方法还是暴力破解。

4.1 介绍

在 1999 年美国 NIST: National Institute of Standards and Technology 指示 DES 只能用在落后的系统中，其他系统应该使用 3DES。虽然破解 3DES 的最好方法还是暴力破解，它也有很多问题。首先，软件实现这一算法是低效的；其次，加密块大小只有 64 字节，这显然在今天的很多应用中还是落后的；最后，量子计算机在可预见的未来几十年是可能存在的，因此我们需要 256 位长的密钥长度。所有这些因素，促使了 NIST 寻找一种新的块加密算法来替代 3DES。

候补 AES 块运算加密算法需要满足下面的条件：

• 块运算使用 128 位
• 支持 128/192/256 位密钥长度
• 对比其他竞争对手更安全
• 能够高效通过软件/硬件实现

AES 算法的发展过程如下：

• 1997 年 1 月 2 日，由 NIST 发布新的块加密算法需求
• 1997 年 9 月 12 日，AES 宣布了这一算法的正式名称
• 1998 年 8 月 20 日，多个国家的研究者提交了共计 15 种候选算法
• 1999 年 8 月 9 日，5 种算法进入决赛圈
  • IBM 的 Mars
  • RSA 的 RC6
  • Joan Daemen 与 Vincent Rijmen 的 Rijndael
  • Ross Anderson、Eli Biham 与 Lars Knudsen 的 Serpent
  • Bruce Schneier、John Kelsey、Doug Whiting、David Wagner、Chris Hall 与 Niels Ferguson 的 Twofish
• 2000 年 10 月 2 日，NIST 宣布选择 Rijndael 算法做为 AES
• 2001 年 11 月 26 日，AES 正式成为美国联邦加密标准

4.2 AES 算法总览

AES 块运算加密算法与 Rijndael 算法基本一致，只是Rijndael 算法支持 128/192/256 位的块运算，而 AES 只支持 128 位的块运算。后面我们只讨论块长度 128 字节的 Rijndael 算法。

不同的密钥长度，进行的计算轮数不同：

密钥长度	轮数
128 位	10
192 位	12
256 位	14

AES 中不像 DES 那样具有 Feistel 网络。Feistel 网络不会在每次迭代中加密所有的信息块，在 DES 中，每次迭代只加密 64/2 = 32 位的数据块。而 AES 则会在每次迭代加密所有的 128 位数据，这也是为什么它的运算轮数相对较少。

AES 由称作层的结构组成。每一层操作所有的 128 位的数据。只有三种不同类型的层。除了第一轮，每一轮都由所有三层组成。

密钥加法层

128 位密钥或子密钥，通过密钥策略从主密钥中计算得到，进行异或操作

字节替换层(S 盒)

每一个状态的元素通过查表进行非线性转换，这一过程为数据引入混乱

扩散层

为所有状态位提过扩散，它由两个子层组成，二者都进行线性操作：

• ShiftRows 层在字节层面进行数据置换
• MixColumn 层是矩阵操作组合四字节块

4.3 一些数学内容：伽罗瓦域简单介绍

在 AES 中，大部分层使用了伽罗瓦域算法，尤其在 S 盒与 MixColumn 层中。

4.3.1 有限域存在性

一个有限域(伽罗瓦域)，是具有有限成员的集合。在这个域中，我们可以进行加/减/乘/逆运算。

我们先介绍一个简单的代数结构，群。

定义4.3.1 群 群是一簇元素 \(G\) 并具有操作 \(\circ\) 对 \(G\) 的两个元素组合，具有如下特性：

1. 群操作 \(\circ\) 是闭合的，既对于所有的 \(a，b\in G\) 满足 \(a \circ b = c \in G\)
2. 群操作满足结合律，既 \(a\circ (b\circ c) = (a\circ b)\circ c，a，b，c \in G\)
3. 具有零元素 \(1 \in G\)，满足 \(a\circ 1 = 1 \circ a = a，a \in G\)
4. 对于 \(a\in G\) 存在 \(a^{-1}\in G\) 称作逆，满足 \(a\circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = 1\)
5. 如果 \(a\circ b = b\circ a，a，b\in G\) 那么这个群是阿贝尔群

简而言之，群就是具有一个操作与对应逆操作的集合。如果一个操作称作加，那么对应的逆操作就是减；如果一个操作是乘，那么对应的逆操作就是除。

例4.1 对于集合 \(Z_m = {0，1，...，m - 1}\) 与取模运算，组成具有零元素 0 的群。每一个元素 a，具有逆 -a，满足 a + (-a) = 0 mod m，注意到，这个集合对乘法运算并不组成群，因为大部分元素并不具备逆元素，满足 \(aa^{-1} = 1 \quad mod \quad m\)

为了在一个结构中包含所有四种基本代数运算(加减乘除)，我们需要包含加法与乘法的群，我们称之为域。

定义4.3.2 域 域 F 是元素的集合，满足如下特性：

• F 的所有元素通过加法操作组成加法群，其零元素为 0
• F 的所有元素通过乘法操作组成乘法群，其零元素为 1
• 当两个群的操作混合，满足分配律，既\(a(b+c) = (ab) + (ac)，a，b，c\in F\)

例4.2 实数集是一个域，对于加法操作是具有零元素为 0 的群，对于乘法操作是零元素为 1 的群。每一个实数 a 具有一个加法逆 -a，具有一个乘法逆 1/a。

在密码学中，我们总是对具有有限数字的域感兴趣，这样的域称作有限域或伽罗瓦域。在域中的元素数称作它的阶/势。

定理4.3.1 对于正整数 n 与质数 p，只有在 \(m = p^n\) 时，具有 m 阶的域才存在，p 称作有限域的特征

4.3.2 质数域

有限域的最直观的例子是质数阶，n = 1 的域。这样的质数域 GF(p) 可以由整数 0，1，...，p - 1 组成。这个域支持模加运算与模乘运算。

定理 4.3.2 p 为质数，整数环 \(Z_p\) 表示为 GF(p) 是一个质数域。所有 GF(p) 的非零元素都具有逆，所有 GF(p) 的算术都是模 p 的

这意味着如果我们考虑整数环 \(Z_m\)，具有模加与模乘运算，m 为质数，那么 \(Z_m\) 不仅是一个环，它还是一个有限域。

为了在质数域中进行运算，我们必须遵从整数环的规则：加法与乘法操作都要模 p，任何元素有 \(a + (-a) = 0\quad mod \quad p\)，\(a\dot a^{-1} = 1\)。

例 4.3 考虑有限域 GF(5) = {0，1，2，3，4}，下表展示了加法与乘法操作：

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

\(\times\)	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

加法逆

\[-0 = 0 \\ -1 = 4 \\ -2 = 3 \\ -3 = 2 \\ -4 = 1 \]

乘法逆

\[1^{-1} = 1 \\ 2^{-1} = 3 \\ 3^{-1} = 2 \\ 4^{-1} = 4 \]

一个重要的质数域是 GF(2)，它是最小的有限域。在 GF(2) = {0，1} 中，有：

+	0	1
0	0	1
1	1	0

\(\times\)	0	1
0	0	0
1	0	1

4.3.3 扩展域 \(GF(2^m)\)

在 AES 算法中，有限域包含 256 个元素，表示为 \(GF(2^8)\)。选择这个域，是因为每一个域元素可以表示为单字节。对于 S 盒与 MixColumn 转换，AES 数据中的每一个字节视作域 \(GF(2^8)\) 中的元素，并在这个有限域中对数据进行计算。

如果有限域的阶不是质数，显然 \(2^8\) 不是质数，加法与乘法操作不能被整数的加法与乘法模 \(2^8\) 表示。这样的 $m > 1 $ 的域称作扩展域。为了处理扩展域，我们需要不同的域元素标识，元素进行算术运算的不同规则。下面我们会看到扩展域可以表示为多项式，并通过对多项式运算进行扩展域的计算。

在扩展域 \(GF(2^8)\) 中的元素不是以整数的形式表示的，而是以系数在 \(GF(2)\) 中的多项式表示的。多项式具有最大 m - 1 阶，这样对于每一个元素最多有 m 个系数。在域 \(GF(2^8)\) 中，每一个元素 \(A \in GF(2^8)\) 可以表示为：

\[A(x) = a_7 x^7 + ... + a_1 x + a_0，a_i \in GF(2) = {0，1} \]

这样会有 \(256 = 2^8\) 个多项式，每一个多项式可以表示为如下的向量：

\[A = (a_7，a_6，a_5，a_4，a_3，a_2，a_1，a_0) \]

4.3.4 \(GF(2^m)\) 中的加法与减法

现在我们就可以进行这个域中的加法与乘法了。AES 的密钥加法层使用加法运算。操作是直白的，只需要进行标准多项式的加法与减法：我们只需要进行系数的加法与减法操作。

定义 4.3.3 扩展域加法与减法

令 \(A(x)，B(x) \in GF(2^m)\)，两个元素的和可通过下式计算：

\[C(x) = A(x) + B(x) = \sum_{i = 0}^{m - 1}c_i x^i，c_i \equiv a_i + b_i \quad mod \quad 2 \]

差通过下式计算：

\[C(x) = A(x) - B(x) = \sum_{i = 0}^{m - 1}c_ix^i，c_i \equiv a_i - b_i \equiv a_i + b_i \quad mod \quad 2 \]

注意到我们对系数进行模 2 加法/减法操作。在第二章中我们知道，模 2 的加法与减法是相同的操作。模 2 加法等效于按位异或。

例 4.5 \(C(x) = A(x) + B(x)\) 是 \(GF(2^8)\) 中的两个元素

\[A(x) = x^7 + x^6 + x^4 + 1 \\ B(x) = x^4 + x^2 + 1 \\ C(x) = x^7 + x^6 + x^2 \]

如果我们进行减法操作，将会得到相同的结果。

4.3.5 \(GF(2^m)\) 中的乘法

在 \(GF(2^8)\) 中的乘法是 AES MixColumn 转换的核心，第一步，两个元素使用标准多项式乘法规则计算：

\[A(x)\cdot B(x) = (a_{m-1}x^{m-1} + ... + a_0)\cdot (b_{m-1}x^{m-1}+...+b_0) \\ C'(x) = c'_{2m-2}x^{2m-2} + ... + c'_0 \]

其中：

\[c'_0 = a_0b_0 \quad mod \quad 2\\ c'_1 = a_0b_1 + a_1b_0 \quad mod \quad 2 \\ ... \\ c'_{2m-2} = a_{m-1}b_{m-1} \quad mod \quad 2 \]

系数都是 \(GF(2)\) 中的元素。多项式 \(C(x)\) 的阶高于 \(m - 1\)，因此必须要降阶。基本思想与质数域中的乘法类似，在 \(GF(p)\)，我们乘两个整数，除一个质数，并只考虑余数。下面是我们对扩展域做的操作：乘法的积除以指定的多项式，只考虑余数。我们需要不可约的多项式来进行降阶。

定义 4.3.4 扩展域乘法

令 \(A(x)，B(x) \in GF(2^m)\) 且

\[P(x) = \sum_{i=0}^{m}p_ix^i，p_i \in GF(2) \]

是一个不可约的多项式。对两个元素 \(A(x)，B(x)\) 的乘法为：

\[C(x) \equiv A(x)\cdot B(x) \quad mod \quad P(x) \]

这样每一个 \(GF(2^m)\) 多项式需要一个系数为 \(GF(2)\) 的 m 阶不可约多项式 \(P(x)\)。注意到，不是所有的多项式都是不可约的，比如，\(x^4 + x^3+x+1\) 就是可约的：

\[x^4+x^3+x+1 = (x^2+x+1)(x^2+1) \]

例 4.6 我们想要乘 \(GF(2^4)\) 中的两个多项式 \(A(x) = x^3+x^2+1\) 与 \(B(x) = x^2 +x\)，不可约的多项式为：

\[P(x) = x^4 + x + 1 \]

原多项式的乘法可以计算得：

\[C'(x) = A(x)\cdot B(x) = x^5+x^3+x^2+x \]

我们可以像下面这样计算：

\[x^4 = 1\cdot P(x) + (x+1) \\ x^4 \equiv x+1 \quad \mod \quad P(x) \\ x^5 \equiv x^2 + x \quad mod \quad P(x) \]

现在，我们只需将降阶后的表达式代入原方程 \(C'(x)\)：

\[C(x) \equiv x^5 + x^3 + x^2 +x \quad mod \quad P(x) \\ C(x) \equiv (x^2 + x) + (x^3 + x^2 + x) = x^3 \\ A(x)\cdot B(x) \equiv x^3 \]

如果我们查看前面的例子，可以以下面的比特操作表示：

\[A \cdot B = C \\ (x^3+x^2+1)\cdot(x^2+x) = x^3 \\ (1 1 0 1)\cdot(0 1 1 0) = (1 0 0 0) \]

注意到，这个计算与整数乘法不同。

4.3.6\(GF(2^m)\) 中的逆

\(GF(2^8)\) 的逆是字节替换转换的核心，它组成了 AES 的 S 盒。对于给定的有限域 \(GF(2^m)\) 以及相关的不可约降阶多项式 \(P(x)\)，非零元素 \(A\in GF(2^m)\) 的逆 \(A^{-1}\) 有：

\[A^{-1}\cdot A(x) = 1 \quad mod \quad P(x) \]

对于小的域，在实践中，通常意味着具有 \(2^{16}\) 或更少的元素，通常可以使用预先计算好的域的逆表，进行查表。下表展示了 AES S 盒使用的值。表格包含所有 \(GF(2^8)\) 模 \(P(x) = x^8+x^4+x^3+x+1\) 的逆的十六进制表示形式。一个特殊的形式是域元素 0，它的逆并不存在。不过，对于 AES S 盒需要对每一个输入都给到一个输出，因此 S 盒的设计者给到 0 的输出映射为 0。

x\y	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	00	01	8d	f6	cb	52	7b	d1	e8	4f	29	c0	b0	e1	e5	c7
1	74	b4	aa	4b	99	2b	60	5f	58	3f	fd	cc	ff	40	ee	b2
2	3a	6e	5a	f1	55	4d	a8	c9	c1	0a	98	15	30	44	a2	c2
3	2c	45	92	6c	f3	39	66	42	f2	35	20	6f	77	bb	59	19
4	1d	fe	37	67	2d	31	f5	69	a7	64	ab	13	54	25	e9	09
5	ed	5c	05	ca	4c	24	87	bf	18	3e	22	f0	51	ec	61	17
6	16	5e	af	d3	49	a6	36	43	f4	47	91	df	33	93	21	3b
7	79	b7	97	85	10	b5	ba	3c	b6	70	d0	06	a1	fa	81	82
8	83	7e	7f	80	96	73	be	56	9b	9e	95	d9	f7	02	b9	a4
9	de	6a	32	6d	d8	8a	84	72	2a	14	9f	88	f9	dc	89	9a
A	fb	7c	2e	c3	8f	b8	65	48	26	c8	12	4a	ce	e7	d2	62
B	0c	e0	1f	ef	11	75	78	71	a5	8e	76	3d	bd	bc	86	57
C	0b	28	2f	a3	da	d4	e4	0f	a9	27	53	04	1b	fc	ac	e6
D	7a	07	ae	63	c5	db	e2	ea	94	8b	c4	d5	9d	f8	90	6b
E	b1	0d	d6	eb	c6	0e	cf	ad	08	4e	d7	e3	5d	50	1e	b3
F	5b	23	38	34	68	46	03	8c	dd	9c	7d	a0	cd	1a	41	1c

例 4.7 从上表中有下面的式子

\[x^7 + x^6 + x = (1100 0010)_2 = (C2)_{hex} = (xy) \]

可以确定到 C 行 2 列，查表得到它的多项式逆为：

\[(2F)_{hex} = (00101111)_2 = x^5+x^3+x^2+x+1 \]

这可以通过如下乘法验证：

\[(x^7+x^6+x)\cdot(x^5+x^3+x^2+x+1) \equiv 1 \quad mod \quad P(x) \]

注意到，上面的表格中并不包含 S 盒本身。

4.4 AES 的内部结构

下面我们会讨论 AES 的内部构造。在 AES 的单轮中，16 字节的输入 \(A_0，...，A_{15}\) 按字节给到 S 盒，S 盒的 16 字节的输出 \(B_0，...，B_{15}\) 在 ShiftRows 层按字节置换，并给到 MixColumn 层进行混合转换 \(c(x)\)，最后，128 位子密钥 \(k_i\) 域中间结果进行异或。AES 是面向字节的块运算。

这与 DES 不同，DES 进行的是按位置换，是面向位的结构。

我们首先想象一个状态 A，由 16 字节的 \(A_0，A_1，...，A_{15}\) 组成，并以 \(4\times 4\) 矩阵准备：

\(A_0\)	\(A_4\)	\(A_8\)	\(A_{12}\)
\(A_1\)	\(A_5\)	\(A_9\)	\(A_{13}\)
\(A_2\)	\(A_6\)	\(A_{10}\)	\(A_{14}\)
\(A_3\)	\(A_7\)	\(A_{11}\)	\(A_{15}\)

AES 对元素当前状态据帧的行列进行操作。相似的，密钥字节以 \(4\times 4\) 矩阵(128 位密钥)，6 列矩阵(192 位密钥)，8 列矩阵(256 位密钥)。下面是 192 位密钥的表示：

\(k_0\)	\(k_4\)	\(k_8\)	\(k_{12}\)	\(k_{16}\)	\(k_{20}\)
\(k_1\)	\(k_5\)	\(k_9\)	\(k_{13}\)	\(k_{17}\)	\(k_{21}\)
\(k_2\)	\(k_6\)	\(k_{10}\)	\(k_{14}\)	\(k_{18}\)	\(k_{22}\)
\(k_3\)	\(k_7\)	\(k_{11}\)	\(k_{15}\)	\(k_{19}\)	\(k_{23}\)

4.4.1 字节替换层

每一轮的第一层都是字节替换层。字节替换层，可以看作是 16 行的平行 S 盒，具有 8 个输入与输出位。注意到，16 个 S 盒都是相同的。在这一层，每一个状态 \(A_i\) 都被 \(B_i\) 替换：

\[S(A_i) = B_i \]

S 盒是 AES 中唯一的非线性元素，既 \(字节替换(A) + 字节替换(B) \ne 字节替换(A+B)\)。S 盒替换是双向映射，既对于 \(2^8 = 256\) 可能的输入，有一一映射的输出元素。在软件中 S 盒可以通过查表实现。

x\y	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	63	7c	77	7b	f2	6b	6f	c5	30	01	67	2b	fe	d7	ab	76
1	ca	82	c9	7d	fa	59	47	f0	ad	d4	a2	af	9c	a4	72	c0
2	b7	fd	93	26	36	3f	f7	cc	34	a5	e5	f1	71	d8	31	15
3	04	c7	23	c3	18	96	05	9a	07	12	80	e2	eb	27	b2	75
4	09	83	2c	1a	1b	6e	5a	a0	52	3b	d6	b3	29	e3	2f	84
5	53	d1	00	ed	20	fc	b1	5b	6a	cb	be	39	4a	4c	58	cf
6	d0	ef	aa	fb	43	4d	33	85	45	f9	02	7f	50	3c	9f	a8
7	51	a3	40	8f	92	9d	38	f5	bc	b6	da	21	10	ff	f3	d2
8	cd	0c	13	ec	5f	97	44	17	c4	a7	7e	3d	64	5d	19	73
9	60	81	4f	dc	22	2a	90	88	46	ee	b8	14	de	5e	0b	db
A	e0	32	3a	0a	49	06	24	5c	c2	d3	ac	62	91	95	e4	79
B	e7	c8	37	6d	8d	d5	4e	a9	6c	56	f4	ea	65	7a	ae	08
C	ba	78	25	2e	1c	a6	b4	c6	e8	dd	74	1f	4b	bd	8b	8a
D	70	3e	b5	66	48	03	f6	0e	61	35	57	b9	86	c1	1d	9e
E	e1	f8	98	11	69	d9	8e	94	9b	1e	87	e9	ce	55	28	df
F	8c	a1	89	0d	bf	e6	42	68	41	99	2d	0f	b0	54	bb	16

例 4.8 我们假设 S 盒输入为 \(A_i = (C2)_{hex}\)，那么它的替换值是：

\[S((C2)_{hex}) = (25)_{hex} \]

在比特层级，替换可以描述为：

\[S(11000010) = (00100101) \]

虽然 S 盒是双向的，它并没有任何固定的点，既不存在输入 \(A_i\) 从而有 \(S(A_i) = A_i\)，即便输入 0 也不是不变的：

\[(00000000) = (01100011) \]

例 4.9 让我们假设字节替换的输入为：

\[(C2，C2，...，C2) \]

一十六进制表示，输出状态是：

\[(25，25，...，25) \]

S盒的数学描述

略

4.4.2 扩散层

在 AES 算法中，扩散由两个子层组成，ShiftRows 转换与 MixColumn 转换。不像 S 盒，扩散层进行的操作是线性的，有：

\[DIFF(A) + DIFF(B) = DIFF(A+B) \]

ShiftRows 层

ShiftRows 转换进行下面的移位：第一行不变，第二行循环左移一位，第二行循环左移两位，第三行循环三位。

\(B_0\)	\(B_4\)	\(B_8\)	\(B_{12}\)
\(B_1\)	\(B_5\)	\(B_9\)	\(B_{13}\)
\(B_2\)	\(B_6\)	\(B_{10}\)	\(B_{14}\)
\(B_3\)	\(B_7\)	\(B_{11}\)	\(B_{15}\)

输出新状态如下：

\(B_0\)	\(B_4\)	\(B_8\)	\(B_{12}\)
\(B_5\)	\(B_9\)	\(B_{13}\)	\(B_1\)
\(B_{10}\)	\(B_{14}\)	\(B_2\)	\(B_6\)
\(B_{15}\)	\(B_3\)	\(B_7\)	\(B_{11}\)

MixColumn 层

MixColumn 步是线性转换，会混合每一个状态矩阵的列。因为每一个输入会影响四个输出字节，MixColumn 操作是 AES 中主要带来扩散的组件。ShiftRows 以及 MixColumn 二者组合仅需要三轮，状态矩阵的每一个字节将与所有 16 字节的原文有关。

我们将 16 字节的输入表示为 B，输出表示为 C：

\[MixColumn(B) = C \]

这里 B 为 ShiftRows 的输出。

现在每四个字节列考虑为一个向量，乘一个 \(4\times 4\) 矩阵，其中乘法与加法的系数属于 \(GF(2^8)\)。比如，如下例：

\[\begin{equation} \begin{pmatrix} C_0 \\ C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 02 & 03 & 01 & 01 \\ 01 & 02 & 03 & 01 \\ 01 & 01 & 02 & 03 \\ 03 & 01 & 01 & 02 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_0 \\ B_5 \\ B_{10} \\ B_{15} \end{pmatrix} \end{equation} \]

对应的，第二列输出 \((C_4，C_5，C_6，C_7)^T\) 是由 \((B_4，B_9，B_{14}，B_3)\) 使用相同的常矩阵计算得到，以此类推。

每一个状态字节 \(C_i\) 以及 \(B_i\) 是 8 位值，表示为 \(GF(2^8)\) 中的元素。所有计算都是在伽罗瓦域中进行的。比如矩阵中的常量是以十六进制表示的 01，实际上是 \(GF(2^8)\) 多项式系数 (0000 0001)，既在伽罗瓦域中的 1；02，是多项式系数 (0000 0010)，既伽罗瓦域中的 x；03 是多项式系数 (0000 0011)，既伽罗瓦域 x+1。

在向量矩阵乘法中的加法是 \(GF(2^8)\) 中的加法。我们选择 01，02，03 做为矩阵常量，是因为它十分高效。都可以通过查表快速得到。

例 4.11 假设输入给 MixColumn 层的状态是：

\[B = (25，25，...，25) \]

只需要进行 02，03 乘法计算：

\[02\cdot 25 = x\cdot(x^5 + x^2 + 1)\\ = x^6 + x^3 + x \]

\[03\cdot 25 = (x+1)(x^5+x^2+1)\\ =(x^6+x^3+x)+(x^5+x^2+1) \\ =x^6+x^5+x^3+x^2+x+1 \]

因为中间产物的阶都低于 8，因此不需要通过 \(P(x)\) 进行降阶计算。输出为：

\[C_i = (x^5+x^2+1)+(x^5+x^2+1)+(x^6+x^3+x)+(x^6+x^5+x^3+x^2+x+1) = (x^5+x^2+1) = 25 \]

因此输出为：

\[C = (25，25，...，25) \]

4.4.3 密钥加法层

输入给密钥加法层的两个输入是当前 16 字节的状态矩阵以及 16 字节的子密钥。两个输入通过按位异或操作结合。注意到异或操作与伽罗瓦域 \(GF(2)\) 的加法等效。子密钥通过密钥策略计算得到。

4.4.4 密钥策略

密钥策略使用原始输入密钥(128/192/256位)计算得到子密钥。子密钥的异或加法在 AES 的输入与输出都会用到。这个过程有时称作密钥漂白。子密钥数量等于轮数加一。对于密钥长度为 128 位，轮数是 10，因此共有 11 个子密钥，每一个子密钥为 128 位。192 位密钥长度有 13 个 128 位子密钥。256 位密钥长度有 15个 128 位子密钥。AES 子密钥递归计算，既计算 \(k_i\) 需要知道 \(k_{i-1}\)。

AES 密钥策略是基于字的(在这里说的字为32位)。对于不同的初始密钥长度，AES 具有不同的密钥策略，不过它们的策略是相似的。

128 位长 AES 密钥策略

11 个子密钥存储在密钥扩展数组 \(W[0]，...，W[43]\)。

第一个子密钥 \(k_0\) 就是 AES 的原始密钥。既 \(W[0] - W[3]\)，剩下的密钥最左侧的字通过下面的步骤计算：

\[W[4i] = W[4(i-1)] + g(W[4i-1]) \quad i = 1，...，10 \]

其中 \(g()\) 为非线性函数。

剩下的子密钥三个字通过下面的方式计算：

\[W[4i+j] = W[4i+j-1]+W[4(i-1)+j] \quad i= 1，...，10，j=1，2，3 \]

\(g()\) 函数旋转它的四个输入字节，执行按位的 S 盒替换，并添加轮系数 RC。轮系数是伽罗瓦域 \(GF(2^8)\) 中的元素，既一个 8 位的值，只会添加到最左侧的字节。轮系数每一轮都不同：

\[RC[1] = x^0 = (0000 0001)_2 \\ RC[2] = x^1 = (0000 0010)_2 \\ RC[3] = x^2 = (0000 0011)_2 \\ ... \\ RC[10] = x^9 = (00110110)_2 \]

函数 \(g()\) 为密钥策略添加非线性属性，并消除了 AES 中的对称性。

192 位长 AES 密钥策略

略

256 位长 AES 密钥策略

略

4.5 解密

因为 AES 不是基于 Feistel 网络，所有的层必须做反转，既字节替换层变成逆字节替换层，ShiftRows 层编程逆 ShiftRows 层，MixColumn 层变成逆 MixColumn 层。不过，我们可以看到，各层的逆操作与用于加密的层是相似的。子密钥的顺序也是逆转的，既，我们需要逆转密钥策略。

因为最后一个加密轮不会进行 MixColum 操作，第一个解密层不会包含对应的逆转层。所有其他的解密层，包含全部的 AES 层。

MixColumn 逆层

为了得到 MixColumn 的逆操作，需要使用 MixColumn 中使用矩阵的逆，计算是遵循 \(GF(2^8)\) 的：

\[\begin{equation} \begin{pmatrix} B_0 \\ B_1 \\ B_2 \\ B_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0E & 0B & 0D & 09 \\ 09 & 0E & 0B & 0D \\ 0D & 09 & 0E & 0B \\ 0B & 0D & 09 & 0E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_0 \\ C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end{pmatrix} \end{equation} \]

ShiftRows 逆层

为了逆转 ShiftRows 操作，我们必须按照相反的方向移位，比如下面的子层：

\(B_0\)	\(B_4\)	\(B_8\)	\(B_{12}\)
\(B_1\)	\(B_5\)	\(B_9\)	\(B_{13}\)
\(B_2\)	\(B_6\)	\(B_{10}\)	\(B_{14}\)
\(B_3\)	\(B_7\)	\(B_{11}\)	\(B_{15}\)

那么它的逆转就是：

\(B_0\)	\(B_4\)	\(B_8\)	\(B_{12}\)
\(B_{13}\)	\(B_1\)	\(B_5\)	\(B_9\)
\(B_{10}\)	\(B_{14}\)	\(B_2\)	\(B_6\)
\(B_7\)	\(B_{11}\)	\(B_{15}\)	\(B_3\)

字节替换逆层

因为 AES 的 S 盒是一一映射的关系，因此可以获得 S 盒的逆：

\[A_i = S^{-1}(B_i) = S^{-1}(S(A_i)) \]

其中 \(A_i\) 以及 \(B_i\) 是状态矩阵的元素。逆 S 盒如下表：

x/y	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	52	09	6a	d5	30	36	a5	38	bf	40	a3	9e	81	f3	d7	fb
1	7c	e3	39	82	9b	2f	ff	87	34	8e	43	44	c4	de	e9	cb
2	54	7b	94	32	a6	c2	23	3d	ee	4c	95	0b	42	fa	c3	4e
3	08	2e	a1	66	28	d9	24	b2	76	5b	a2	49	6d	8b	d1	25
4	72	f8	f6	64	86	68	98	16	d4	a4	5c	cc	5d	65	b6	92
5	6c	70	48	50	fd	ed	b9	da	5e	15	46	57	a7	8d	9d	84
6	90	d8	ab	00	8c	bc	d3	0a	f7	e4	58	05	b8	b3	45	06
7	d0	2c	1e	8f	ca	3f	0f	02	c1	af	bd	03	01	13	8a	6b
8	3a	91	11	41	4f	67	dc	ea	97	f2	cf	ce	f0	b4	e6	73
9	96	ac	74	22	e7	ad	35	85	e2	f9	37	e8	1c	75	df	6e
A	47	f1	1a	71	1d	29	c5	89	6f	b7	62	0e	aa	18	be	1b
B	fc	56	3e	4b	c6	d2	79	20	9a	db	c0	fe	78	cd	5a	f4
C	1f	dd	a8	33	88	07	c7	31	b1	12	10	59	27	80	ec	5f
D	60	51	7f	a9	19	b5	4a	0d	2d	e5	7a	9f	93	c9	9c	ef
E	a0	e0	3b	4d	ae	2a	f5	b0	c8	eb	bb	3c	83	53	99	61
F	17	2b	04	7e	ba	77	d6	26	e1	69	14	63	55	21	0c	7d

解密密钥策略

解密时我们需要反方向顺序的子密钥。

4.6 软件与硬件实现

软件

不像 DES，AES 设计通过软件高效实现是可行的。核心的思想是将所有轮通过软件查表实现，只需要四个表格，每一个表格由 256 条目组成，每一个条目是 32 位宽。这些表称为 T 盒。在 1.2 GHz 的英特尔处理器上，可以达到 400Mbps。理论上在 64 位 Athlon CPU 上带宽可达 1.6Gbps。

硬件

实现 AES 相较于 DES 算法需要更多的硬件资源。不过在现今的集成电路上，这都不成问题，AES 可以在现代 ASIC 或 FPGA 技术上实现非常高的带宽。商用 AES ASICs 可以超过 10Gbps。使用并行技术，速度可以更快。