KMP初步

KMP算法

介绍

用处：用于串的模式匹配，即找出模式串在主串中的出现位置

朴素想法，直接遍历两个串，失配回到主串开始比较位置的下一位继续匹配，复杂度\(O(nm)\)

KMP算法即在\(O(n+m)\)复杂度内匹配的算法

算法实现

通过一个叫\(next\)数组的东西，使指向主串的\(i\)指针不回溯，只改变指向模式串的\(j\)指针

所以重点就是在于失配后\(j\)移动到哪里，也就是关于\(next\)数组的部分

\(Next[]\)的基本意义：

在串ss中寻找串s，

当前已经得到了\(s[1…j-1]=ss[i-j+1…i-1]\)，

正在检查\(s[j]与ss[i]\)是否相等，发现不相同，失配，

（如果相同，i和j自增1，继续向后检查）

如果按照暴力算法，ss上的“指针”需要回到i-j+1，s上的“指针”j需要回到0；

我们试图让i往回不移动，仅仅是让j往回移动，移动到一个合适的、不会丢失任何匹配可能的位置，这个位置就是我们的Next[j]。

\(next\)数组的定义是

即最大的\(P[1 , k-1] = P[j-k+1 ,j-1]\)

求出next之后在失配时让\(j=next[j]\)就是KMP算法了

如何求出\(next\)

已知 Next[j]=kn。

即存在 \(s[1,kn-1]=s[j-kn+1,j-1]\)

（最长后缀等于字符串前缀）

分情况讨论，对于\(j+1\)（现在需要求的Next数组位）有两种情况

1. 若$ s[kn]=s[j]$，那么可以得到 \(s[1,kn]=s[j-kn+1,j]\) ，根据定义，不难推断出\(Next[j+1]=kn+1\)
2. 若不相等，则转化为匹配自身的问题，不断地令\(j=Next[j]\)直至出现 \(s[kn]=s[j]\)（转化为1情况，\(Next[j+1]=kn+1\)）；或者\(j=1\)（找不到后缀等于前缀）匹配到头，\(Next[j+1]=1\)。

7月22日更新：

找到了更好理解的kmp板子，这个模板中，nxt[i]表示最大的x，满足s[1 : x] 是s[1 : i] 的后缀，匹配的时候用前一个nxt来匹配。如果字符串从0开始，那么将j+1改为j，nxt[j]改为nxt[j-1]即可，j的初值不用改变

模版

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000005
using namespace std;

int n, m;

int nxt[N];
int s[N], t[N];

void getNext(int s[]) {
	nxt[1] = 0;
    for (int i = 2, j = 0; i <= m; i++) {
        while (j && s[i] != s[j + 1]) j = nxt[j];
        if (s[i] == s[j + 1]) j++;
        nxt[i] = j;
    }
}

int kmp(int s[], int t[], int pos) {
	for (int i = pos, j = 0; i <= n; i++) {
		while (j && t[j + 1] != s[i]) j = nxt[j];
		if (t[j + 1] == s[i]) j++;
		if (j >= m) return i - m + 1;
	}
	return -1;
}

int main() {
	int t1;
	scanf("%d", &t1);
	while (t1--) {
		scanf("%d%d", &n, &m);
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%d", &s[i]);
		}
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			scanf("%d", &t[i]);
		}
		memset(nxt, 0, sizeof(nxt));
		getNext(t);
		printf("%d\n", kmp(s, t, 1));
	}
	return 0;
}