折线分割平面系列问题

解决通法

找出第i条线增加后会增加几个交点，则增加的面数就是交点数+1，根据递推公式求出通项公式，注意如果第i次增加的线不只一条，要单独考虑每一条线，比如每一次增加一组平行线，要分别算出这两条线可能产生的交点数

例题

HDU-2050 折线分割平面

题目链接

https://vjudge.net/problem/HDU-2050

题面

Description

我们看到过很多直线分割平面的题目，今天的这个题目稍微有些变化，我们要求的是n条折线分割平面的最大数目。比如，一条折线可以将平面分成两部分，两条折线最多可以将平面分成7部分，具体如下所示。

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(0<n<=10000),表示折线的数量。

Output

对于每个测试实例，请输出平面的最大分割数，每个实例的输出占一行。

Sample Input

2
1
2

Sample Output

2
7

题解

第i条折线增加后，就是增加\(4 \times (i-1)\)个交点，则增加\(4 \times(i-1)+1\)个平面，数据范围较小，直接递推即可

AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 10050
using namespace std;
long long f[N];
int main() {
	f[1] = 2;
	for (int i = 2; i <= 10000; i++) {
		f[i] = f[i - 1] + 4 * (i - 1) + 1;
	}
	int t;
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		int n;
		scanf("%d", &n);
		printf("%lld\n", f[n]);
	}
	return 0;
}

CSU-2059 Water Problem

题目链接

https://vjudge.net/problem/CSU-2059

题面

Description

一条‘Z’形线可以将平面分为两个区域，那么由N条Z形线所定义的区域的最大个数是多少呢？每条Z形线由两条平行的无限半直线和一条直线段组成

Input

首先输入一个数字T（T<100），代表有T次询问 每次询问输入一个数字N（N<1e8），代表有N条Z形线

Output

对于每次询问，在一行输出N条‘Z’形线所能划分的区域的最大个数为多少

Sample Input

2
1
2

Sample Output

2
12

Hint

题解

第i条线增加后，会增加\(9\times (i-1)\)个点，则产生点数加1个面，数据量较大，需算出通项公式，递推公式为

\[f[i]=f[i-1]+9\times(i-1)+1,f[1]=2 \]

则

\[f[n]=9\times(1+2...+n-1)+n+1=\frac{9n(n-1)}{2}+n+1 \]

AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 10050
using namespace std;
long long f[N];
int main() {
	int t;
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		long long n;
		scanf("%lld", &n);
		printf("%lld\n", 9 * n * (n - 1) / 2 + n + 1);
	}
	return 0;
}