点分治入门

点分治入门

转载于：https://blog.csdn.net/qq_39553725/article/details/77542223

点分治，是处理树上路径的一个极好的工具。
一般如果需要大规模处理树上路径，点分治是一个不错的选择。
这里我就来讲一讲我自己对于点分治的一点理解和感悟（帮助新手入坑……）
现在就开始吧！

1.点分治的基本思想

点分治，顾名思义就是基于树上的节点进行分治。
如果我们在深入一点呢？对于点的拆开其实就是对于树的拆开。
所以我认为点分治的本质其实是将一棵树拆分成许多棵子树处理，并不断进行。
这应该也是点分治的精髓。

2.分治点的选择

既然我们要将一个点进行分治，那么选点肯定最首要的。
思考下面一个问题：
如果树退化为一个链，
我们选取链首作为分治点，理论时间复杂度？
而如果选择链的中心，它的理论时间复杂度又是多少？
答案其实还是挺简单的。
选择链首：O( n )
选择链心：O( logn )
通过这个例子,我们不难发现：
如果选点后左右子树越大，递归层数越多，时间越慢，反之则越快。
所以我们的选点标准就出来了，而我们把有这个性质的点叫做：树的重心！

3.重心的O( n )求解<求解分治点>

正式一点定义一下重心：找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,
先贴出找重心的代码（各位结合着理解下面的内容）：

void getroot(int u,int fa)
{
  sim[u] = 1; mxson[u] = 0;
  for(int i = head[u];i;i = t[i].next)
    {
      int v = t[i].to;
      if(vis[v]||v == fa)continue;
      getroot(v,u);
      sim[u] = sim[u] + sim[v];
      mxson[u] = max(mxson[u],sim[v]);
    }
  mxson[u] = max(mxson[u],Smer - sim[u]);
  if(mxson[u]<MX){root = u; MX = mxson[u];}
}

其中sim[i]表示以i为根节点的子树的节点数量（即子树大小），mxson[i]，表示i节点为根的子树中的最大子树。
Smer为这棵树（当前处理树）的大小。MX记录当前已经找到的最小 最大子树值。

那么究竟是怎么找的呢？其实也蛮简单的。
就是暴力（当然不是正真意义上的暴力啦，毕竟人家是O（n）的）搞出所有子树的大小，找出最大子树，与原来答案比较，更新答案。
但在这里要特别注意一下这一句：

mxson[u] = max(mxson[u],Smer - sim[u]);

这一句其实使用到了容斥原理的思想（后面还会用到），求出的是经过父亲节点的子树大小。
读者们细细体会一下代码，这部分应该还是很好懂_(≧▽≦)/啦啦啦。

4.点分治的实现

有了前面的基础知识我们就可以正式进入点分治的探讨了。
点分治是用递归实现的，先给出代码：

void Divide(int tr)
{
  ans = ans + solve(tr,0);
  vis[tr] = true;
  for(int i = head[tr];i;i = t[i].next)
    {
      int v = t[i].to;
      if(vis[v])continue;
      ans = ans - solve(v,t[i].len);
      Smer = sim[v]; root = 0;
      MX = INF; getroot(v,0);
      Divide(root);
    }
  return;
}

我们一点一点的分析。
首先对于当前点，求解经过此点的所有贡献(solve)。
ans = ans + solve(tr,0);

把当前点标记（防止陷入死循环）。
vis[tr] = true;

然后进行分治，分别处理此点的每一棵子树。
for(int i = head[tr];i;i = t[i].next)

容斥原理去除非法答案。
ans = ans - solve(v,t[i].len);
这里要着重讲一下。
对于以下这棵树：

显然A点是它的重心。
我们假设现在分治到了A点（当前点为A）
我们一开始求解贡献时，会有以下路径被处理出来：
A—>A
A—>B
A—>B—>C
A—>B—>D
A—>E
A—>E—>F (按照先序遍历顺序罗列)
那么我们在合并答案是会将上述6条路径两两进行合并。
这是注意到：
合并A—>B—>C 和 A—>B—>D 肯定是不合法的！！
因为这并不是一条树上(简单)路径，出现了重边，我们要想办法把这种情况处理掉。
处理方法很简单，减去每个子树的单独贡献。
例如对于以B为根的子树，就会减去：
B—>B
B—>C
B—>D
这三条路径组合的贡献
读者可能会有疑问，这与上面的6条路径并不一样啊。
我们再回过头来看一看这两句代码：
ans = ans + solve(tr,0);
ans = ans - solve(v,t[i].len);
注意到了吧，solve函数的第二个初始值并不相同。
我们在处理子树时，将初始长度设为连接边长，这样做就相当于个子树的每个组合都加上了A—>的路径，从而变得与上面一样。
个人认为这是点分治一个极其重要的地方，读者们一定要理解清楚。

重设当前总树大小，寻找新的分治点(重心)
Smer = sim[v]; root = 0;
MX = INF; getroot(v,0);

递归处理新的分治点
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