定点乘法原理

定点乘法原理

原码一位乘法

原码的一位乘与十进制计算乘法过程类似，只不过在存储方式上有一些技巧。因为两个n位乘数相乘得到的数应该是2n位，但是考虑到每对于乘数的每一位，我们读取并判断后都不会再使用，因此可以将其舍去；而恰好乘数部分需要一个新的位来进行位权的改变，因此我们可以利用乘数寄存器进行辅助存储。同时，移位操作也可以让判断电路固定在一个位置，有利于简化电路。

原码一位乘的具体过程如下图所示

可以看到，C就是乘数寄存器，而A称为部分积，最后计算完成后合并在一起，再补上符号位则得到原码的乘积

原码两位乘法

原码两位乘的原理也很简单，因为源码实际对于两位的情况只有4中并且不区分正负数，计算方法一致，如下表所示

$Y_{i+1}Y_i$	操作	部分积和乘数右移
00	+0	1位
01	+X	1位
10	+2X	1位
11	+3X	1位

但是上表存在一个问题，他的行为中不变、+X、+2X（移位后加）都可以方便的通过一步完成，但是+3X则需要拆解成两步，如果拆解成两步，那么对硬件设计和程序执行效率都会产生严重的负面影响。
所以我们实际采用的方法是将+3X分解为+4X-X，这样的话就能解决这个问题了，因为+4X又可以通过左移两位快速实现。
现在的问题变为-X怎么处理，当即再做一次加法显然不合适，因此我们引入一个标志位C进行存储，C=1表示我们欠下一个+4X，这样下一次计算时计算机就会补上一个+4X。进行右移2位后，+4X就变成了+X，因此计算大大简化了。
那么我们就可以将操作表扩展成如下模式

$Y_{i+1}Y_i \ C$	部分积	C置数	部分积和乘数右移
000	+0	$0 \rightarrow C$	2位
001	+X	$0 \rightarrow C$	2位
010	+X	$0 \rightarrow C$	2位
011	+2X	$0 \rightarrow C$	2位
100	+2X	$0 \rightarrow C$	2位
101	-X	$1 \rightarrow C$	2位
110	-X	$1 \rightarrow C$	2位
111	+0	$1 \rightarrow C$	2位

如果遇到奇数位乘法，最后一位按照一位乘处理。

最后给出一个例子：

补码一位乘法

前置知识

补码的乘法我们选用纯小数作为推导的例子，因为纯小数具有一个非常优秀的性质： $[-X]_补=-[X]_补(mod\ 2)$
证明：
对于纯小数，其补码转化为真值的公式为： $[X]_补 = 2 + X(mod\ 2)$
在模2条件下，可以对数加上任意 $2^k$ ，因此 $[-X]_补 = 2 - X (mod\ 2) = - (X + 2)(mod\ 2)=-[X]_补$

矫正法

结论： $[X \times Y]_补 = [X]_补 \times (0.Y_1 Y_2 \dots Y_n) + [-X]_补 \times Y_0$
其中， $Y_0$ 为符号位

证明：
对于被乘数X而言，其实不影响运算，因为X始终作为加数而判断是否要加的是Y，因此只有Y的正负会影响计算方法。
（1）Y>0时，显然与原码乘法计算方法相同，公式的第二项为0
（2）Y<0时
假设

[Y]_{补} = 1. Y_{1} Y_{2} \dots Y_{n} = Y + 2

$[Y]_补 = 1.Y_1 Y_2 \dots Y_n = Y + 2$

则

Y = [Y]_{补} - 2 = 0. Y_{1} Y_{2} \dots Y_{n} - 1

$Y = [Y]_补 - 2 = 0.Y_1 Y_2 \dots Y_n - 1$

此时我们发现，Y被表示成了一个正数减去1的形式，那么

[X \times Y]_{补} = [X \times (0. Y_{1} Y_{2} \dots Y_{n}) - X]_{补} = [X \times (0. Y_{1} Y_{2} \dots Y_{n})]_{补} - [X]_{补}

$[X \times Y]_补 = [X \times (0.Y_1 Y_2 \dots Y_n) - X]_补 = [X \times (0.Y_1 Y_2 \dots Y_n)]_补 - [X]_补$

综上所述，得到 $[X \times Y]_补 = [X]_补 \times (0.Y_1 Y_2 \dots Y_n) + [-X]_补 \times Y_0$

booth公式

[X \times Y]_{补} = [X]_{补} \times (0. Y_{1} Y_{2} \dots Y_{n}) + [- X]_{补} \times Y_{0}

$[X \times Y]_补 = [X]_补 \times (0.Y_1 Y_2 \dots Y_n) + [-X]_补 \times Y_0$

$[X \times Y] = [X]_补 \times (0.Y_1 Y_2 \dots Y_n) + [-X]_补 \times Y_0\\ \ \ \ \ \ \ \ = [X]_补 \times (-Y_0 + 2^{-1} Y_1 + 2^{-2} Y_2 + \dots + 2^{-n} Y_n) \\ \ \ \ \ \ \ \ = [X]_补 \times (-Y_0 +(Y_1 - 2^{-1} Y_1) +(2^{-1} Y_2 - 2^{-2} Y_2) + \dots + ( 2^{-n+1} Y_{n} - 2^{-n} Y_n) \ \ ) \\ \ \ \ \ \ \ \ = [X]_补 \times (\ (Y_1-Y_0) + 2^{-1}(Y_2 - Y_1) + 2^{-2}(Y_3 - Y_2) + \dots + 2^{-n}(Y_{n+1} - Y_n) \ ) \\ \ \ \ \ \ \ \ 其中Y_{n+1} = 0$

拆解为递推公式则为

[Z_{0}]_{补} = 0 [Z_{1}]_{补} = 2^{- 1} {[Z_{0}]_{补} + (Y_{n + 1} - Y_{n}) [X]_{补}} \dots [Z_{n}]_{补} = 2^{- 1} {[Z_{n - 1}]_{补} + (Y_{2} - Y_{1}) [X]_{补}} 最 后 结 果 ： [X \times Y]_{补} = [Z_{n}]_{补} + (Y_{1} - Y_{0}) [X]_{补}

$[Z_0]_补 = 0\\ [Z_1]_补 = 2^{-1}\{[Z_0]_补 + (Y_{n+1} - Y_n)[X]_补\}\\ \dots\\ [Z_n]_补 = 2^{-1}\{[Z_{n-1}]_补 + (Y_{2} - Y_1)[X]_补\}\\ 最后结果：[X \times Y]_补 = [Z_n]_补 + (Y_1 - Y_0)[X]_补$

booth乘法运算按照:
(1)在乘数Y后附加一位，初始值 $Y_{n+1}=0$
(2)每次运算后部分积和乘数均右移一位，操作由 $Y_{n-1}Y_n$ 决定,且 $\color{red}{符号位参与运算}$

$Y_{n-1} Y_{n}$	部分积	部分积和乘数右移
00	+0	1位
01	$+[X]_补$	1位
10	$-[X]_补$	1位
11	+0	1位

$\color{red}{ 注意：在进行运算的过程中因为符号位也参与运算，所以有可能出现溢出}$ $\color{red}{现象，因此需要采用双符号位来进行计算，避免溢出错误}$
例：1.00xxxx + 1.01xxxx的情况就会出现溢出错误，如果采用单个符号位，进行算术右移后会导致出错；此时应当采用11.00xxxx + 11.01xxxx保证符号位正常

补码两位乘法

与原码两位乘类似，补码两位乘也是同时进行两次乘法运算，设上次、第一次与第二次的部分积分别为 $[Z]_补，[Z']_补，[Z'']_补$

则
$[Z']_补 = 2^{-1}\{[Z]_补 + (Y_{i+1} - Y_i)[X]_补\} \\ [Z'']_补 = 2^{-1}\{[Z']_补 + (Y_{i} - Y_{i-1})[X]_补\} \\ [Z'']_补 = 2^{-1}\{ 2^{-1}\{[Z]_补 + (Y_{i+1} - Y_i)[X]_补\} + (Y_{i} - Y_{i-1})[X]_补\} \\ [Z'']_补 = 2^{-2}\{ [Z]_补 + (Y_{i+1}+Y_i-2Y_{i-1})[X]_补 \}$