定点数加减法及其溢出判断原理

定点数补码加减法及其溢出判断原理

补码加减运算

补码的数学表示

设X为一个数的真值，$M=2^n$(n为机器位数)，则在数学表示上
$[X]_补 = M+X\ (mod M),-2^{n-1}\le X < 2^{n-1}$

补码加法

$[X]_补 + [Y]_补 = M+X+M+Y(mod M)=M+X+Y(mod M)=[X+Y]_补$
可见，补码加法直接使用加法器相加即可

补码减法

$[X]_补-[Y]_补=M+X-M-Y=X-Y(mod M)=M+X+M-Y(mod M)=[X]_补+[-Y]_补$
补码减法可以转化为补码加法，这也是计算机可以只设计加法器而不一定需要减法器的原因
如何将$[Y]_补$与$[-Y]_补$进行转化是补码减法的重点
设$[Y]_补=Y_nY_{n-1}\dots Y_1$
（1）当$0\le Y < 2^{n-1}$时

$$[Y]_补=[Y]_原=0,Y_{n-1}Y_{n-2}\dots Y_1\\ [-Y]_原=1,Y_{n-1}Y_{n-2}\dots Y_1$$

Y为正，-Y为负，则

$$[-Y]_补=1,\overline{Y_{n-1}}\ \overline{Y_{n-2}}\dots \overline{Y_1} + 1$$

（2）当 $-2^{n-1} <Y < 0$ 时

$$[Y]_补=1,Y_{n-1} Y_{n-2}\dots Y_1 \\ [Y]_原=1,\overline{Y_{n-1}}\ \overline{Y_{n-2}}\dots \overline{Y_1} + 1 \\ [-Y]_原=0,\overline{Y_{n-1}}\ \overline{Y_{n-2}}\dots \overline{Y_1} + 1$$

Y为负，-Y为正，则

$$[-Y]_补=[-Y]_原=0,\overline{Y_{n-1}}\ \overline{Y_{n-2}}\dots \overline{Y_1} + 1$$

综上所述：机器负数转换方法为
$$[-Y]_补=\sim [Y]_补 + 1$$

溢出判断

溢出产生的原因

由于机器存放数字的二级制数码位数有限，当进行模M加法时会出现异常的符号改变现象，称为溢出。溢出分为以下两种：

1. 正溢：两个整数相加得到一个负数
2. 负溢：两个负数相加得到一个负数

溢出检测

假设加法情况如下：

$$操作数A:[X]_补=X_{n}X_{n-1}\dots X_1\\ 操作数B:[Y]_补=Y_{n}Y_{n-1}\dots Y_1\\ 两数和：[S]_补=S_{n}S_{n-1}\dots S_1$$

方法一：直接检测

当A>0,B>0但S<0时或A<0,B<0但S>0时显然发生了溢出，表示为：

$$溢出=X_nY_n\overline{S_n} + \overline{X_n}\ \overline{Y_n} S_n$$

方法二：进位检测

假设两数运算时产生的进位分别是 $$C_{n}C_{n-1}\dots C_1$$
那么根据刚才的讨论可以得到

1. 当A>0,B>0但S<0时，$A_n=0,B_n=0,S_n=1$,即n-1位发生进位，n位不可能进位，$C_{n-1}=1，C_{n}=0$;此时正溢
2. 当A<0,B<0但S>0时，$A_n=1,B_n=1,S_n=0$,即n位发生进位，n-1位不可能进位，$C_{n}=1，C_{n-1}=0$;此时负溢
3. 当A>0,B>0但S>0时，$A_n=0,B_n=0,S_n=0$,即均不进位，$C_{n-1}=0，C_{n}=0$;此时不溢出
4. 当A<0,B<0但S<0时，$A_n=1,B_n=1,S_n=1$,即均进位，$C_{n-1}=1，C_{n}=1$;此时不溢出

综上所述，那么可以得到 $$溢出=C_{n-1} \oplus C_n$$

方法三：双进位检测

在运算时临时将两操作数的符号位复制一位补在最高位+1的位置
这样运算就会变成

$$操作数A:[X]_补=X_{n}X_{n}X_{n-1}\dots X_1\\ 操作数B:[Y]_补=Y_{n}Y_{n}Y_{n-1}\dots Y_1\\ 两数和：[S]_补=S_{n2}S_{n1}S_{n-1}\dots S_1$$

根据$S_{n2}S_{n1}$的不同结果，我们就可以判断是否发生溢出，这个原理与进位检测其实是相同的

$$S_{n2}S_{n1}=00;无溢出\\ S_{n2}S_{n1}=01;正溢\\ S_{n2}S_{n1}=10;负溢\\ S_{n2}S_{n1}=11;无溢出\\ $$

为了节约存储位数，最后保存结果时会忽略最高位的$S_{n2}$的计算结果，仅在运算时扩充为双符号位