读书笔记——知无涯、识有涯？理性的藩篱与哥德尔不完备定理
知无涯、识有涯？理性的藩篱与哥德尔不完备定理
俞启慧版画《晨牧》
2017 年参加读书会，开年就读了两本好书。一本是赵林的《西方哲学史讲演录》，另一本是齐斯·德福林的《数学的语言》。
《西方哲学史讲演录》是根据武汉大学哲学院教授赵林的“西方哲学史”通识导论课课堂录音整理而成的。从古希腊的自然派哲学家泰勒斯一直讲到康德、黑格尔，系统地阐述了西方哲学发生、发展的历史过程和逻辑脉络。全书讲的清晰且通俗，花了二十多个小时读完，对西方哲学的脉络有了框架性的了解。我比较感兴趣的是阿那克萨哥拉的种子说和努斯理论、普罗提诺的太一理论、以及黑格尔的绝对精神，在我这个外行人看来，这三者差不太多，但是换个搞哲学的比较他们之间的异同，应该能写出好几本书了吧。
《数学的语言》同样以历史的发展的角度讨论数学中的各个主题。刚开始读这本书的时候，我尝试将它作为一本数学导论书或者《考研数学一本全》。然而不久就发现，书中并没有以列纲目的形式整理出数学的所有知识点，对于零散提到的定理或一些数学家的猜想结论也没给出完整证明。作者是在一边梳理数学的发展进程，一边寻找人类使用抽象模式的迭代过程，即数学的本质。内容涉及基础代数、几何、离散数学、可计算理论、微积分、复变函数、大学物理等等。不得不说当年本科学过的认为没有用或再也用不上的东西一一又跳了出来，成为了我更好理解数学、更好认识世界的障碍。当年小看了今天的自己。
有意思的是，西方的很多哲学家也是数学家。所以两门书中的内容往往会被一个个相同的名字联系在一起，因为人们研究纯哲学和数学都是在认识这个世界啊。
不可知的康德
除了之前提到的几个概念，《西方哲学史讲演录》书中最能引起我思考的是关于康德的哲学的讲述。康德提到知识建立在认识形式和感觉经验两方面之上。我们永远无法认识物自体（自在之物）。我们能认知的只是我们能认知的——人的视角的世界，而不是事物本身。我们以为获取了事物的客观规律，但是我们永远无法证明。我们通过感性获取认识的材料（杂多表象），然后通过知性进行综合统一，最后由理性经由推理将判断放入知识体系。
同时，康德同样认为人是有限的存在，当我们试图去理解一些无限的本质的东西（自在之物本身、如上帝或者说是第一因）是超越了我们的能力的，我们永远无法推理出来。超越理性必然会引起二律背反。
当看书看到到这里时，我不禁脑洞大开，想到了计算理论课上老师讲到的哥德尔不完备定理和图灵停机问题，只不过因为时间隔得太久相关细节已经不太清楚了。但是没想到，接着读到的《数学的语言》帮我复习了这部分内容。
计算的边界
《数学的语言》中提到，自希腊数学家（同时也是希腊最早的哲学家，前面提到过）泰勒斯以来，证明就是数学的核心。但是无论是早期亚里士多德的三段式证明，还是之后的符号化的证明，我们都需要一个证明的起点，那就是公理。可信的公理就是证明推理的地基，地基不牢，不管之后建起了怎样的科学大厦都会瞬间倒塌。然而我们的公理地基确是真的布满了了裂纹，如在20世纪罗素就一举摧毁了康托尔直觉性集合论。
然而寻找前后一致且完备的公理系统的纯粹形式主义道路是难以实现的，后来这被称为希尔伯特纲领，以当时杰出的数学家戴维·希尔伯特命名。
1917年希尔伯特在苏黎世发表一篇演说，题目是“公理思想”，这篇文章全面叙述了一些与认识论有关的问题。1922年在德国自然科学家和医师协会莱比锡会议上，他更进一步提出了证明方法。要求有限主义，经过有限步不推出矛盾O＝1来即为证明可靠，这称为希尔伯特计划。他还提出这样一种明显理论本身也作为一种数学研究的对象，且应用适当的方法来判定它是否无矛盾，这种做法一般称为元数学或证明论。他建议两条最基本的原则：（1）形式主义原则：所有符号完全看作没有意义及内容。（2）有限主义原则，总能在有限机械步骤之内验证形式理论之内一串公式是否一个证明。
相信希尔伯特纲领的数学家的梦想，在1941年被哥德尔不完备定理彻底打碎。哥德尔定理是说：当我们为数学的某个大部分（排除0维几何）写下任何前后一致的公理系统时，该公理系统一定是不完备的，因为永远都会有问题以这些公理为基础而无法回答。（更简单的描述是：任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性）。
下面给出证明
北京大学 陈斌 哥德尔不完备定理证明
这个问题在计算理论课上被提起也是因为它与图灵停机问题 的相似性，强调图灵机不是万能的。不切实际的需求造成了“自指和层次缠绕”。所以：
- 没有一个万能的公理系统，在其中能够证明所有的数学真理，而且排除谬误
- 没有一个万能的算法，能够判定所有的算法是否可以完成，还是陷入无限循环
很多人用停机问题来证明计算机的限制性，甚至用来安慰对于人工智能会打败人类的担忧。
但结合之前的康德的理论。我更关心的是人类的认知有没有极限呢？我们当然要比图灵机有更灵活的计算能力，但如果我们没有足够完备的公理系统，即我们认识的工具基础都不完善，我们如何综合统一出无限的知识和完整的世界。
知无涯、识有涯？
番外：世俗谛与胜义谛
当玄奘法师到达印度時，佛教在印度已经没落了。戒贤法师已一百多岁，还在等玄奘法师的到来。当时的婆罗门等教派恢复了学术地位，印度的学术辩论非常民主，这些教派辩论得很厉害，还有全国性的公开讨论。当时有人问佛教徒：“见道时是什么境界？」答：「无所见、无能见，能所双亡，即无所见的境界，也无能见的作用。”但既无所见，也无能见，又如何知道是见道了？因此这一问就胶住了好几年。剛好玄奘法師到了，答以千古名言：“如人饮水，冷暖自知”解决了这一论辩纷争。过后一百多年在中国又有人问：“请问这一知又是什么？」可见一个最高的修道境界要把它变成一个学术论辩，问题则永无穷尽。现在我请问在座的人，这一知是能知？还是所知？不管能知或所知，皆非见道之境，要特别注意。 --南怀瑾《宗镜录略讲》第一集 第一章
世俗谛与胜义谛是一组十分抽象的佛学概念。按照当代法师宏海的解释，谛指的是真理，世俗是说世间的一切情形，胜义就是说出世间，有时候我们表述为形而上的这样一种境界。
世俗谛我们就可以理解为人世间的种种。相应的，出世间的解脱，断烦恼，证到真实的境界，我们都叫做胜义谛或真谛，对凡夫而言，这是看不见、摸不着的境界。
如何才能突破世俗谛证得胜义谛？
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