进阶数论artalter级服务第三弹 杜教筛
1.杜教筛
杜教筛是用来在低于线性的时间复杂度\((O(n^\frac{2}{3} )?)\)内求出积性函数的前缀和的算法
根据杜教筛的定义，我们设
\[S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)
\]
\[g是一个积性函数
\]
\[h=f \times g
\]
\[H(n)=\sum_{i=1}^nh(i)
\]
那么有
\[\begin{aligned}
H(n)&=\sum_{i=1}^nh(i)\\
&=\sum_{i=1}^n(f\times g)(i)\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}{g(d)f(\frac{i}{d})}\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}{g(d)f(\frac{i}{d})}\\
&=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{d})[d|i] \\
&=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{i}{d}\rfloor}f(i) \\
&=\sum_{d=1}^ng(d)S(\lfloor\frac{i}{d}\rfloor)\\
\end{aligned}
\]
变化一下可得：
\[\begin{aligned}
g(1)S(n)&=H(n)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\lfloor\frac{i}{d}\rfloor)
\end{aligned}
\]
这就是杜教筛最根本的式子。
如果我们能找到一个g，使得g和\(g\times h\)的前缀和都很好求，那我们就能用整数分块快速求出S了
应用
\[\sum_{i=1}^n\mu(i)
\]
我们知道
\[\mu \times I =\epsilon
\]
\(\epsilon\)的前缀和永远是1，\(I\)的前缀和就是n
那我们就可以推出\(\mu\)的前缀和式子了
