进阶数论artalter级服务第一弹：数论函数和积性函数

0.前言

古曰: “夫数论者，数之论也”。

本博客主要涉及积性函数，莫比乌斯反演，狄利克雷卷积和杜教筛等内容

前置知识：欧拉筛，欧拉函数，一些基本的数论常识

本博客涉及到的函数都是数论函数，仅研究自然数的性质

1.数论函数

数论函数是指一类定义域和值域都为整数的函数

2.积性函数

积性函数的定义：

\[ \begin{aligned} &对于一个数论函数F\\ &如果 \forall a,b互质, F(ab)=F(a)F(b)\\ &那么就称F为积性函数 \end{aligned} \]

完全积性函数的定义：

\[ \begin{aligned} &对于一个数论函数F\\ &如果 \forall a,b, F(ab)=F(a)F(b)\\ &那么就称F为完全积性函数 \end{aligned} \]

常见的积性函数有：\(\mu,\varphi,\sigma,d\)

\(\mu\)是莫比乌斯反演函数，\(\varphi\)是欧拉反演函数，\(\sigma(n)=\sum_{i=1}^ni\) , \(d(n)=\sum_{i=1}^{n}{[d|n] }\)

常见的完全积性函数有\(\epsilon,I,id\)

\(\epsilon(n)=[n=1],I(n)=1,id(n)=n\)

3.一些常用的规律

\[1+2+3+4+5+6+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\\ 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\\ \]