平衡树(Splay) artalter级服务:第一弹——旋转的艺术
平衡树(Splay) artalter 级服务:第一弹——旋转的艺术
0.前言
本蒟蒻前不久刚学SPLAY，有了一点心得，想要巩固下来。同时也觉得网上的神犇们实在太强了，有的内容并不能很好的让我这样的蒟蒻理解，因此便有了我这篇RBQ级服务的博客。我的splay是看自有风月马前卒学的，因此部分代码可能有些相似。自有风月马前卒是一位高产的神犇，强烈推荐大家看他的博客
1.引入：何为平衡树
平衡树，大家一定都听说过（毕竟没听说过也不会来找Splay博客），那么，平衡树到底是怎么回事呢？就让小编一起带大家来看看吧
平衡树是一种 二叉搜索树（BST） ,它拥有二叉搜索树的重要性质：对于BST的一个节点，它的左子树都比它小，右子树都比它大。BST因为有了这个性质，就可以以\(O(mh)\)的复杂度方便的实现插入，删除，查询前后驱，排名,k小值等功能。没错，正是平衡树常用的功能。好的，BST取代了平衡树，本篇完————
怎么可能？？？
BST的性质可以理解为，它是一个中序遍历为有序数列的二叉树，而我们知道，对于一棵树，只知道中序遍历是无法确定它的形态的，因此，插入顺序的不同会导致BST形态的不同。在极端情况下，它会退化成一条链，这时使用BST的复杂度就退化成了\(O(mn)\)。(ps:vector在一般情况下也能以远低于\(O(mn)\)的复杂度完成以上操作)。
那该怎么办？用vector(
为了拯救Oier和BST，平衡树出现了。考虑到BST之所以会退化，是因为它在可能会变得非常“窄长”，于是，我们可以使用人为方式让BST保持宽宽扁扁的“好身材”,来保证复杂度为\(O(m\log n)\)这就是平衡树的由来。
平衡树可以分成不同的种类：
通过旋转操作实现平衡的：有旋Treap,Splay（伸展树）,WBLT,AVL Tree,（左偏）红黑树
通过分裂与合并操作实现平衡的：FHQ Treap(无旋Treap)
通过暴力拍扁实现平衡的（害怕 ：替罪羊树
由于本蒟蒻实在太蒻，只会Splay，因此就只跟大家讲Splay了
2.平衡？先得有树！
在开始splay之前，我们首先要准备一颗二叉树
如下：
#define maxn 100005
struct splayTree
{
int val, ch[2], fa, size, cnt;
} t[maxn];
int root, tot; //root是根结点的位置；tot是结点的数量，也是当前最后一个被插入的结点的编号
变量名的含义：
val : 该节点维护的权值
ls/rs:该结点左/右孩子的编号
fa: 该结点父亲的编号
size:以该结点为根的子树中的结点数
cnt:该结点的权值出现的次数
son,nxt:该结点nxt孩子的编号
我在代码中应用的一些宏如下
#define val(x) t[x].val
#define ls(x) t[x].ch[0]
#define rs(x) t[x].ch[1]
#define son(x, nxt) t[x].ch[nxt]
#define fa(x) t[x].fa
#define size(x) t[x].size
#define cnt(x) t[x].cnt
用了宏以后，我的代码虽然不是用指针写的，但是写法比指针还简洁
3.Rotate:向父亲进发！
正常来说，一个数据结构应该是以插入函数开始的。然而，splay的插入函数需要用到splay操作，因此就先从splay操作——的基础，rotate操作开始。
Rotate操作，也就是将儿子结点旋转到父亲结点的操作。如图，1,2,3是三个结点，4,5,6,7是四颗子树
我们应该怎么操作，才能在不改变结点间大小关系（也就是中序遍历顺序）的情况下，将3旋转到2的位置上呢？
首先，我们有一个大小顺序：5<3<6<2<7<1<4,又因为6,5,7,4都是子树，不能向子树底部转移结点。我们把图拆成这种形式：
把3移到2的位置上，那么1，3必须连，2要找一个地方插进去，它只能把6子树挤掉，可6子树也要找一个位置插进去，此时2结点原先3结点在的位置有一个空缺，6子树就插了进去。这样以来，就能在不改变原先大小关系的情况下把3旋转到2的位置上。
多次手模后，我们总结出了如下旋转的规则：
设要旋转到父亲的结点为x，它的父结点是y，祖父结点是z，x是y的fx孩子（0为左，1为右，下同），y是z的fy孩子
1.把x的fx^1孩子移动到y的fx孩子上
2.把y移动到x的fx^1孩子上
3.把x移动到z的y孩子上
最后，我们还要对y和x的size值进行pushup操作
代码如下：
pushup(int x) //更新父节点的size值
{
size(x) = size(ls(x)) + size(rs(x)) + cnt(x);
}
int ff(int x) //查询x是它父亲的哪一个节点
{
return rs(fa(x)) == x;
}
void connect(int x, int y, int nxt) //把x插入到y的nxt节点上
{
son(y, nxt) = x;
fa(x) = y;
}
void rotate(int x) //将x旋转到它父亲的位置
{
int y = fa(x), z = fa(y);
int fx = ff(x), fy = ff(y);
connect(son(x, fx ^ 1), y, fx);
connect(y, x, fx ^ 1);
connect(x, z, fy);
pushup(y), pushup(x);//从子结点向父结点上传
}
4.splay——旋转的艺术
经过前面的铺垫，我们终于来到了Splay最最核心的部分—— Splay。
splay操作，就是把一个点旋转到另一个点（一般是根节点）的位置。
虽然名字叫平衡树，但是splay降低依靠的并不是完全的平衡(AVL)。根据伟大的90-10法则，\(90\%\)的询问都发生在\(10\%\)的数据上。splay的原理就是：找到询问频率最高的结点，把旋转到根节点，以此在接下来的询问中提高效率。那什么是询问频率最高的点？这很难统计，但我们可以认为：你正在访问的点就是询问频率较高的点，把它旋到根节点就可以了。
那该如何进行splay呢？一个一个向上旋过去
我们十分容易就能想到，可以把x不停向上旋转，直到旋转到y。但这样做旋转的复杂度似乎会被卡到\(O(n)\)。事实上，有这么一个及其好记的结论
1.如果y是x的父亲，就让x向上单旋
2.如果x和x的父亲在树上偏的方向相同(都是左孩子或都是右孩子)，就先让x的父亲向上单旋，在让x向上单旋
3.否则让x连续向上单旋两次
重复1,2,3条即可
代码如下：
void splay(int x, int y) //将x旋转到y的位置
{
y = fa(y);//先让y向上翻一个，判x的父亲是不是y,来避免一些奇奇怪怪的错误
while (fa(x) != y)
{
if (fa(fa(x)) == y)
rotate(x);
else if (ff(x) == ff(fa(x)))
rotate(fa(x)), rotate(x);
else
rotate(x), rotate(x);
}
if (y == 0)
{
root = x;//如果y是根结点，那现在根结点就变成了x
connect(x,0,1);
}
}
5.第一弹总结
值得注意的是，rotate和splay操作都没有改变结点间大小关系，更恰当的说这两个操作都与结点的权值完全无关。在我看来，splay的本质是维护了一个数列，这个数列就是splay的中序遍历。
我一般把平衡树分为两种：普通平衡树和文艺平衡树。
普通平衡树可以实现：第k大，前后驱，排名 等，它可以通过线段树套平衡树的方式实现区间内对上述元素的查询（树套树/二逼平衡树）。
文艺平衡树可以用来进行区间操作，例如区间修改，动态的RMQ,动态求区间最大字段和（山海经那题是静态的）， 区间翻转（只此一家），区间平移（通过三次区间翻转实现）
我认为：普通平衡树和文艺平衡树的本质不同在于，普通平衡树严格按照BST的定义，它的中序遍历是始终单调递增的。而文艺平衡树以编号作为权值，编号间大小关系是因区间翻转而不断被重定义的，它的中序遍历也因此不断发生变化。
这些内容我会在第四弹详细讲到。
第二弹讲完普通平衡树。争取在后天有奥赛课时更新。
最后的最后，贞德老婆镇楼。
