概率与期望
不知道有没有时间完全听懂…… https://www.bilibili.com/video/BV1Jt41137DT/
概率与期望
期望的定义
主要用离散型随机变量的期望的定义
离散型随机变量
期望的性质
1.线性性E(X+Y)=E(X)+E(Y)
证明:全概率公式+期望定义
2.
证明:
问题
1)每次随机有放回地取一个[1,n]的数,问期望取几次能使所有数都至少被取出一次。
设随机变量X为:能使所有数都至少被取出一次所需要取的次数次,问题即求
设随机变量
则
2)随机取一个长度为n的排列P,问p[i]是p[1:i]中最大的数的概率。
设
设p[k]是最大的数,则
3)NOIP2016 换教室
一天共有n节课,第i节课默认在第c[i] 间教室上。在一天刚开始的时候可以一次性提出最多m门课的申请,将第i节课改为到第d[i] 间教室上(c[i],d[i]是固定的),每一个申请通过的概率是k[i]。第x间教室到第y间教室的距离是dis[x][y]。要求上课之间移动的距离的期望最小,求最小的距离的期望。
n,m<=2000
期望的线性性,背包即可
随机游走
问题
1)一条长度为n的链,从一端走到另一端的期望时间。
设
2)一个n个点的完全图,求从S走到T的期望时间。
3)硬币游戏,给n个硬币,第i个硬币的价值是w[i],每次随机取走一个硬币,获得的收益是左右两个硬币的价值的乘积(最左或最右边的收益是0),求期望总价值。
获得收益是指两个硬币碰在一起,令随机变量
怎么快速算出
期望线性性在同分布的随机变量中的一个应用(等价性)
若
问题
1)随机生成一个1..n的排列p,求p[i]是p[1..i]中的最大数的概率。
设随机变量
2)随机生成一个1..n的排列p,求p[i]是p[1..n]中的前k大的数的概率。
设随机变量
3)给一棵n个结点的有根树,一开始每一个点都是白色,每次等概率随机选择一个白点,将整个子树染黑,问期望几次能够把整个子树染黑(
设随机变量
求和即可
4)有n堆石头,每堆有a[i]个石头,每个石头被选中的概率相等,现在等概率随机选一个石头,然后把选中的石头所属的那一堆石头全扔了,直到第一堆石头被扔,问期望扔几次。(
总的期望
设随机变量
这个看起来很难计算
我们用事件
那么就来计算
可以尝试计算一下一些简单的情况
然后用数学归纳法,假设对于所有n-1个元素的
那么可以证明
根据全概率公式,
那么EX就很好计算了。
5)对于一个1..n的等概率随机生成的排列p,定义它的价值为:所有满足p[i]>max(p[i-1],p[i+1])的i的和,求价值的期望。
6)随机生成一个长度为
需要用一个很复杂的构造,长度为
7)等概率随机生成一个排列
期望的线性性:
可以证明
利用
字符串拼接
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