蓝桥杯-大臣的旅费
问题描述
很久以前，T王国空前繁荣。为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。
为节省经费，T国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。
J是T国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了J最常做的事情。他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。
聪明的J发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第x千米到第x+1千米这一千米中（x是整数），他花费的路费是x+10这么多。也就是说走1千米花费11，走2千米要花费23。
J大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？
输入的第一行包含一个整数n，表示包括首都在内的T王国的城市数
城市从1开始依次编号，1号城市为首都。
接下来n-1行，描述T国的高速路（T国的高速路一定是n-1条）
每行三个整数Pi, Qi, Di，表示城市Pi和城市Qi之间有一条高速路，长度为Di千米。
输出一个整数，表示大臣J最多花费的路费是多少。
1 2 2
1 3 1
2 4 5
2 5 4
大臣J从城市4到城市5要花费135的路费。
解法一：
解题思路：运用邻接矩阵存储两点间的距离，通过Floyd-Warshall求得任意两点间的最短路径，然后在最短路径中找到最大值
（路费最多首先是路径最长是吧<*-*>，不先求得最短路径的话，就可以没完没了的来回走，然后就没有最长路径了是吧<*-*>）
JAVA代码如下：
import java.util.Scanner;
public class Test {
static int result = 0;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int[][] e = new int[n + 1][n + 1];
for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
if (i == j)
e[i][j] = 0;
else
e[i][j] = 99999999;
}
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
int x = sc.nextInt();
int y = sc.nextInt();
int z = sc.nextInt();
e[x][y] = e[y][x] = z; //因为是无向图，所以x到y和y到x的距离是一样的
}
for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
for (int j = 1; j < n + 1; j++) {
for (int k = 1; k < n + 1; k++) {
if (e[j][k] > e[j][i] + e[i][k]) {
e[j][k] = e[j][i] + e[i][k];
}
}
}
}
int max = e[1][1];
for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
for (int j = 1; j < n + 1; j++) {
if (max < e[i][j] && e[i][j] < 99999999) { //这里的判断要注意，我们需要的是最短路径中的最大值，99999999代表不能到达
max = e[i][j];
}
}
}
// System.out.println(max); int result = max*10+ max*(1+max)/2;
System.out.println(result);
}
}
很遗憾，这个算法复杂度太高，只能拿到75分
解法二：用邻接表存储边通过深度优先搜索的方式将任意两点间最短路径的最大值求出来这里要强调的是
官网上给出的解题思路并不准确因为距离一号顶点的最远点和距离二号点点的最远点并不一定是整个路径
中相距最远的两点，而是先找到距离一号顶点的最远点姑且称它位a，然后找距离a的最远点b，这样a和b
才是整个路径中最远的两点。
该题目题意就是要求树的直径。
求树直径原理：以任意点w开始，先做一次DFS（BFS），找到最远点v，然后以此点v，进行一次DFS（BFS），
找到最远点u，u到v就是树的直径，记做d(u,v)。
证明：
1) 如果w 是直径上的点，则v显然是直径的终点(因为如果v不是的话，
则必定存在另一个点x使得w到x的距离更长，则与d(u,v)为直径冲突)
2）如果w不是直径上的点，则w到v必然于树的直径相交(反证),那么交点到v
必然就是直径的后半段了,所以v一定是直径的一个端点，所以从v进行DFS得到的一定是直径长度
代码如下：
import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
public class PREV_9{
static int max = 0; //最远距离
static int fina = 0;
static boolean first = true;
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int[] book = new int[n + 1];
@SuppressWarnings("unchecked")
ArrayList<Edge>[] s = new ArrayList [n+1]; //定义一个集合数组
for(int i = 0 ; i < n+1 ; i++){
s[i] = new ArrayList<Edge>();
}
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
int d = sc.nextInt();
int b = sc.nextInt();
int c = sc.nextInt();
//建立邻接表
s[d].add(new Edge(b,c));//因为是无向图，所以两点互为起始点的终点
s[b].add(new Edge(d,c));
}
sc.close();
//将地图中每个点最为终点进行搜索
for (int j = 2; j <= n; j++) {
book[1] = 1;
dfs(s, book,n, 1, 0, j);
//System.out.println("---");
}
book[1] = 0;
first = false;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
book[fina] = 1;
dfs(s, book,n, fina, 0, j);
}
System.out.println(max*10+max*(1+max)/2); //很重要，这是最终结果
}
private static void dfs(ArrayList<Edge>[] s, int[] book,
int n,int cur, int dis, int des) {
// TODO Auto-generated method stub
if (cur == des) {
if (dis > max) {
max = dis;
if(first){ //很重要，这是判断是否为第一次找到的最远点，如果是，将其作为第二次搜索
//的出发点，在第二次搜索中决不允许更新
fina = cur;
}
}
return;
}
for (int k = 1; k <= n; k++) {
if(cur==k){ //寻找出发点
for(int m = 0 ; m < s[k].size() ; m++){
if (book[s[k].get(m).to]==0) {
int mid = cur;
book[s[k].get(m).to] = 1;
cur = s[k].get(m).to;
dfs(s, book,n, cur, dis + s[k].get(m).dis, des);
book[cur] = 0; //很重要，递归结束后要取消标记
cur = mid; //很重要，地柜结束后要回到递归之前的出发点
}
}
}
}
return;
}
}
//用来存储边的信息，该数组的下标代表出发点，to代表终点，dis代表路程
class Edge{
int to;
int dis;
public Edge( int to, int dis) {
this.to = to;
this.dis = dis;
}
}
很遗憾，虽然看似用邻接表比邻接矩阵降低了算法复杂度，但是仍然只拿到75分！如有不足之处，请多指点！！！
