LeetCode（115）：不同的子序列

Hard！

题目描述：

给定一个字符串 S 和一个字符串 T，计算在 S 的子序列中 T 出现的个数。

一个字符串的一个子序列是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）

示例 1:

"rabbbit"
"rabbit"
输出: 3
"rabbit" 的方案
rabbbit
rabbbit
rabbbit

示例 2:

"babgbag"
"bag"
输出: 5
"bag" 的方案
babgbag
babgbag
babgbag
babgbag
babgbag

解题思路：

看到有关字符串的子序列或者配准类的问题，首先应该考虑的就是用动态规划Dynamic Programming来求解，这个应成为条件反射。而所有DP问题的核心就是找出递推公式，这道题就是递推一个二维的dp数组，下面我们从题目中给的例子来分析，这个二维dp数组应为：

  Ø r a b b b i t
Ø 1 1 1 1 1 1 1 1
r 0 1 1 1 1 1 1 1
a 0 0 1 1 1 1 1 1
b 0 0 0 1 2 3 3 3
b 0 0 0 0 1 3 3 3
i 0 0 0 0 0 0 3 3
t 0 0 0 0 0 0 0 3 

首先，若原字符串和子序列都为空时，返回1，因为空串也是空串的一个子序列。若原字符串不为空，而子序列为空，也返回1，因为空串也是任意字符串的一个子序列。而当原字符串为空，子序列不为空时，返回0，因为非空字符串不能当空字符串的子序列。理清这些，二维数组dp的边缘便可以初始化了，下面只要找出递推式，就可以更新整个dp数组了。我们通过观察上面的二维数组可以发现，当更新到dp[i][j]时，dp[i][j] >= dp[i][j - 1] 总是成立，再进一步观察发现，当 T[i - 1] == S[j - 1] 时，dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j - 1]，若不等， dp[i][j] = dp[i][j - 1]，所以，综合以上，递推式为：

dp[i][j] = dp[i][j - 1] + (T[i - 1] == S[j - 1] ? dp[i - 1][j - 1] : 0)

根据以上分析，可以写出代码如下。

C++解法一：

class Solution {
public:
    int numDistinct(string S, string T) {
        int dp[T.size() + 1][S.size() + 1];
        for (int i = 0; i <= S.size(); ++i) dp[0][i] = 1;    
        for (int i = 1; i <= T.size(); ++i) dp[i][0] = 0;    
        for (int i = 1; i <= T.size(); ++i) {
            for (int j = 1; j <= S.size(); ++j) {
                dp[i][j] = dp[i][j - 1] + (T[i - 1] == S[j - 1] ? dp[i - 1][j - 1] : 0);
            }
        }
        return dp[T.size()][S.size()];
    }
};