[SDOI2013] 随机数生成器

BSGS对于高阶同余方程的求解
通过题目给出的式子
$x_{2} \equiv a * x_{1} + b \mod p$
$x_{2} + \frac{b}{a} \equiv a * x_{1} + \frac{b}{a} + b \mod p$
$x_{3} = a * x_{2} + b \equiv a^{2} * x_{1} + a * b + b^{2} \mod p$
$对该式子进行继续推导可以得出$
$x_{i} = a^{i - 1} * x 1 + \sum_{j = 0}^{i - 2} a^{j} \mod p$
$化简得 t \equiv a^{i - 1} x_{1} + \frac{b}{1 - a} - \frac{b}{1 - a} a^{i - 1} \mod p$
$继续化简得到 a^{i - 1} \equiv \frac{t - \frac{b}{1 - a}}{x_{1} - \frac{b}{1 - a}} \mod p$
$接下来我们进行分类讨论$
1
$当 x_{1} = t 时，直接输出 1$
2
$当 a = 0 时， x_{i} = b$
3
$当 a = 1 时，有 x_{i} \equiv x_{1} + b (i - 1) \mod p$

$这时候我们就要面对高次同余方程$
$对于高次同余方程我们一般通过 B S G S 求解$
$接下来讲解 B S G S$

$由扩展欧拉定理我们可以知道 a^{x} \equiv a^{x \mod p} \mod p$
$可知其 \mod p 情况下的最小循环节为 f (p)$
$因为 f (p) < p, 所以考虑 x \in [0, p]$
$如果暴力枚举, 时间为 O (p)$
$很显然我们无法接受$
$令 x = i m - j, 其中 m = ⌈ \sqrt{p} ⌉, j \in [0, m - 1]$
$a^{i m - j} \equiv b \mod p$
$化简得 a^{m i} \equiv b a^{j} \mod p$
$先枚举 j, 把 (b a^{j}, j) 存入哈希表，如果 k e y 重复，用更大的 j 替代$
$再枚举 i ，计算 a^{m i} 当找到第一个相同的 k e y 那么就找到了最小的 x = i m - j$

$c o d e :$

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>

#define int long long
using namespace std;
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define all(x) x.begin(),x.end()
int qpw(int a,int b,int mod){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int inv(int x,int mod){
    return qpw(x,mod-2,mod);
}
int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int bsgs(int a,int b,int mod){
    a%=mod,b%=mod;
    unordered_map<int,int>mp;
    int m=ceil(sqrt(mod)),t=b;
    mp[b]=0;
    for(int j=1;j<m;j++){
        t=t*a%mod;
        mp[t]=j;
    }
    int mi=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        mi=mi*a%mod;
    }
    t=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        t=t*mi%mod;
        if(mp.count(t)){
            return i*m-mp[t];
        }
    }
    return -1;
}
void solve() {
    int p,a,b,x,t;
    cin>>p>>a>>b>>x>>t;
    if(x==t)cout<<1<<'\n';
    else if(a==1){
        t=((t-x)%p+p)%p;
        if(t%gcd(b,p)){
            cout<<-1<<'\n';
        }else {
            if((t*inv(b,p)+1)%p==0){
                cout<<p<<'\n';
            }else {
                cout<<(t*inv(b,p)+1)%p<<'\n';
            }
        }
    }else if(a==0){
        if(b==t){
            cout<<2<<'\n';
        }else {
            cout<<-1<<'\n';
        }
    }else {
        long long ans = bsgs(a, ((t - b * inv(1 - a, p)) % p + p) % p * inv(((x - b * inv(1 - a, p)) % p + p) % p, p), p) % p;
        if(ans==-1){
            cout<<-1<<'\n';
        }else cout<<ans+1<<'\n';
    }
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
    int _=1;
    cin>>_;
    while(_--)solve();
}