数据预处理中归一化（Normalization）与损失函数中正则化（Regularization）解惑

背景：数据挖掘/机器学习中的术语较多，而且我的知识有限。之前一直疑惑正则这个概念。所以写了篇博文梳理下

摘要：

　　1.正则化（Regularization）

　　　　1.1 正则化的目的　

　　　　1.2 结构风险最小化（SRM）理论

　　　　1.3 L1范数（lasso），L2范数（ridge），ElasticNet

　　　　1.4为什么说L1是稀疏的，L2是平滑的？ 

　　2.归一化 （Normalization）

　　　   2.1归一化的目的
　　　　2.1归一化计算方法　　

　　　　2.2.spark ml中的归一化

　　　　2.3 python中skelearn中的归一化

知识总结：

1.正则化（Regularization）

 

1.1 正则化的目的：我的理解就是平衡训练误差与模型复杂度的一种方式，通过加入正则项来避免过拟合（over-fitting）。（可以引入拟合时候的龙格现象，然后引入正则化及正则化的选取，待添加）

1.2 结构风险最小化（SRM）理论:　

　　经验风险最小化 + 正则化项 = 结构风险最小化

 

　　经验风险最小化（ERM），是为了让拟合的误差足够小，即：对训练数据的预测误差很小。但是，我们学习得到的模型，当然是希望对未知数据有很好的预测能力（泛化能力），这样才更有意义。当拟合的误差足够小的时候，可能是模型参数较多，模型比较复杂，此时模型的泛化能力一般。于是，我们增加一个正则化项，它是一个正的常数乘以模型复杂度的函数，aJ(f)，a>=0 用于调整ERM与模型复杂度的关系。结构风险最小化（SRM），相当于是要求拟合的误差足够小，同时模型不要太复杂（正则化项的极小化），这样得到的模型具有较强的泛化能力。

　　

　　下面是来自一篇博文的例子

　　优化如下定义的加了正则项（也叫惩罚项）的损失函数：　　　　

　　

　　后面的就是正则化项，其中λ越大表明惩罚粒度越大，等于0表示不做惩罚，N表示所有样本的数量，n表示参数的个数。

　　如果绘图表示就是这样：

　　
　　  上图的 lambda = 0表示未做正则化，模型过于复杂（存在过拟合）

 

 

　　 

　　上图的 lambda = 1 添加了正则项，模型复杂度降低

 

1.3 正则化的L1，L2范数

　　L1正则化(lasso)：

　，其中C0是代价函数，是L1正则项，lambda是正则化参数

　　L2正则化(ridge)：（待添加：权值衰减引入）

 　，其中是L2正则项，lambda是正则化参数

 　　ElasticNet 正则化:

　　

 　L1与L2以及ElasticNet 正则化的比较：

 　　　1.L1会趋向于产生少量的特征，而其他的特征都是0，而L2会选择更多的特征，这些特征都会接近于0。

　　 　2.Lasso在特征选择时候非常有用，而Ridge就只是一种规则化而已。

　　　 3.ElasticNet 吸收了两者的优点，当有多个相关的特征时，Lasso 会随机挑选他们其中的一个，而ElasticNet则会选择两个；并且ElasticNet 继承 Ridge 的稳定性.

　　       深入：弹性网络（ Elastic Net）

　总结：结构风险最小化是一种模型选择的策略，通过加入正则项以平衡模型复杂度和经验误差；更直观的解释——正则项就是模型参数向量（w）的范数，一般有L1，L2两种常用的范数。

 

1.4为什么说L1是稀疏的，L2是平滑的？ 

L1 Regularizer

L1 Regularizer是用w的一范数来算，该形式是凸函数，但不是处处可微分的，所以它的最佳化问题会相对难解一些。

L1 Regularizer的最佳解常常出现在顶点上（顶点上的w只有很少的元素是非零的，所以也被称为稀疏解sparse solution），这样在计算过程中会比较快。

 

L2 Regularizer

L2 Regularizer是凸函数，平滑可微分，所以其最佳化问题是好求解的。

参考链接：常见的距离算法和相似度（相关系数）计算方法中的Lp球

2.归一化 （Normalization）

　　2.1归一化的目的：

　　　　1）归一化后加快了梯度下降求最优解的速度；

　　　　2）归一化有可能提高精度。详解可查看

　　2.2归一化计算方法　　　　　　

　　公式：

　　　　对于大于1的整数p, Lp norm = sum(|vector|^^p)^(1/p) 

　　2.3.spark ml中的归一化

　　构造方法：

　　http://spark.apache.org/docs/2.0.0/api/scala/index.html#org.apache.spark.mllib.feature.Normalizer
　　newNormalizer(p: Double) ,其中p就是计算公式中的向量绝对值的幂指数
　　可以使用transform方法对Vector类型或者RDD[Vector]类型的数据进行正则化
　　
　　下面举一个简单的例子：

　　scala> import org.apache.spark.mllib.linalg.{Vector, Vectors}　　

　　scala> val dv: Vector = Vectors.dense(3.0,4.0)
　　dv: org.apache.spark.mllib.linalg.Vector = [3.0,4.0]

　　scala> val l2 =  new Normalizer(2) 

　　scala> l2.transform(dv)
　　res8: org.apache.spark.mllib.linalg.Vector = [0.6,0.8]

　　或者直接使用Vertors的norm方法：val norms = data.map(Vectors.norm(_, 2.0))

　　2.4 python中skelearn中的归一化

　　from sklearn.preprocessing import Normalizer 　　
　　#归一化，返回值为归一化后的数据 　

　　Normalizer().fit_transform(iris.data)