摘要：1. 问题描述连续抛一枚硬币，连续出现若干次正面即停止，求所抛总次数的期望。2. 求解期望记硬币出现正面的概率为$p$，停止条件中连续出现正面的次数为$n$，所抛总次数的期望为$\mu_n$。考虑如下情形：首次出现连续$n-1$次正面，此时所抛总次数的期望为$\mu_{n-1}$。再抛一次，结果有且只有一下两种：A. 出现正面，则满足停止条件，所抛总次数的期望为$\mu_{n-1}+1$B. 出现反面，则立即回到初始状态，相当于从0开始再抛出$n$次连续正面，因此总次数的期望为$\mu_{n-1}+1+\mu_n$。A、B两种情况的概率分别为$p,1-p$。因此有$$\begin{equati 阅读全文

摘要：1. 问题描述有绳子若干，随机选取两个绳头系在一起，直到所有的绳头都被系起来，这时将形成若干个环。问环的个数的期望是多少。2. 一般解法记绳子数为$N$时，环的个数为随机变量$X_N$，期望为$\mu_N=E\{X_N\}$。显然，$X_N$可能的取值为$1, 2, \dots, N$。直接的想法是计算$X_N$的概率分布$P\{X_N=m\}$然后再求期望，但显然过于复杂。考虑如下的思路：先随机选取两个绳头系在一起，有且只有两种结果：a. 这两个绳头属于一根绳子，于是形成了一个环，而剩下的$N-1$根绳子归结为规模为$N-1$的问题；b. 这两个绳头属于不同的绳子，于是这两根绳子形成了一根绳 阅读全文