欧拉函数

 

 欧拉函数phi的定义是：不大于它的与它互质的数的个数嘛，并且我们不加证明的给出一个性质——欧拉函数是积性函数，如果ab互质，那么phi(ab)=phi(a)phi(b)

这里代码的phi[1]=1是对1的特殊处理，然后从2开始，i枚举的是当前在判断的是数字i是不是质数

如果!vis[i] 就说明i没有被筛掉，就是质数，然后用i的倍数去筛别的数字

这里倍数的选取就是已经筛出来的质数，并且用到它的因子为止，理由已经讲过了，

就是这样才能保证每个数被其最小质因子筛掉，保证线性复杂度

这里面有两个分支

如果i%prime[j]==0，说明它是最后一个要用到的作为倍数的质数，用完它就要break，

同时，由于这里它不满足i与prime[j]互质，所以不能使用积性（如果ab互质，那么phi(ab)=phi(a)phi(b)）

这里的计算用的是通项公式的展开

{

通项公式：

这里我们可以换元，设n后面那一坨为T，

则，φ（i*prime[j]）=i*prime[j]*T

又φ（i）=i*T

所以，φ（i*prime[j]）=φ（i）*prime[j]

} 

 

然后后面的另一个分支

由于prime[j]是质数且不是i的因子，因此i和prime[j]是互质的，所以可以利用积性

phi[i*prime[j]]=phi[i] * phi[prime[j]]

因为prime[j]是质数，所以 phi[prime[j]]=prime[j]-1

这里就直接写了prime[j]-1，这样不用访问内存代码会跑得更快一些

phi[prime[j]]=prime[j]-1 是因为phi的定义：不大于它的与它互质的数的个数

就是，一个质数，比他小的所有数 都与它互质（注意正整数）

（1与任何自然数互质）