RMQ问题

1.RMQ问题

    RMQ (Range Minimum/Maximum Query)：对于长度为n的数组A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n-1)，返回数组A中下标在i,j范围内的最小（大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。最简单的方法，就是遍历数组直接搜索，但是这种方式时间复杂度是O(n)。对于数组长度较大，性能要求高的场景不适用。

 

2.ST（Sparse Table）算法

ST算法是一种更加高效的算法，以O(nlogn)的预处理代价，换取O(1)的查询时性能。现在我们来看下ST算法的思路和求解过程。假设有一个长度n=10的数组a，各个数组元素a[0],a[1]……a[9]的值分别是3 ,2, 4, 5 ,6, 8 ,1,2, 9, 7。我们以求最大值为例，令0 <= i <= j <= n-1，那么RMQ(a,i,j)就是：找出a[i],a[i+1]....a[j]这些元素中的最大值。令f[i,j]代表从第i个数起连续2^j个数中的最大值。

 

显然f[i,0]的值是确定的，就是第i个数自己。即f[i,0] = a[i]，这就是动态规划DP的初始条件值。

 

现在我们来看下动态规划的状态转移方程，有了初始值和动态转移方程，就能够用动态规划算法解决问题。

为了求f[i,j]，我们把f[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^(j-1))。显然f[i , j] = max（f[i ,  j-1]，f[ i + 2^(j-1),  j-1]）。

 

目前为止，已经有了DP的初始化条件和状态转移方程。接下来我们来看如何利用f[i,j]来RMQ(a, i, j)。

取k=[log2(j-i+1)]，则有：RMQ(a, i, j) = max{f[i,k], f[j-2^k+1,k]}。

举例说明，如果要求区间[2，8]的最大值，总共2到8是7个元素，所以k=2，那么就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。

 

现在我们看下k的值是如何得出的。假设拆分成的2个子区间，每个子区间都有2^(k-1)个元素。则2个子区间分别为：

[i, 2^(k-1) + i -1]和[j - 2^(k-1) + 1,j]。显然必须要满足2个子区间能够完全覆盖[i,j]，即（2^(k-1) + i -1） + 1 >= （j - 2^(k-1) +1）

进而可以推导出 2^k >= (j - i + 1)。这样的话，我们取满足条件的K最小值就可以了。为什么要取最小值呢？是为了保证2个子区间长度尽可能的短。