竞争性独立级联模型与平局判定规则

背景：在实际的网络传播中，经常会遇到多个实体在同一网络中传播的情形，比如两个相互竞争的品牌手机在社交网络上推广传播，或者是某热点事件的官方消息和谣言在网络中传播。

    为了方便起见，我们考虑独立级联模型在两个实体传播中的推广。一个对独立级联模型的自然推广就是对每个实体都按独立级联模型来传播，且各自有一套传播参数。传播中的竞争性表现为如果一个结点已经接受了一个实体，那么它就不会接受其他实体。在传播中这意味着先到先得的原则——哪个实体先传播到一个结点，哪个实体就获得对这个结点的影响力。对于离散的传播模型，还有可能多个实体的传播同时到达一个结点。这是模型需要清楚地描述平局判定规则，以表明在这种情形下哪个实体会胜出，最终激活该结点。

 

竞争性独立级联模型（Competitive Independent Cascade Model）

    一个竞争性独立级联模型 由以下几个部分构成：

• 有向图G(V,E);
• 传播实体集合O；
• 对于每一个传播实体i∈O，边上的影响概率函数pⁱ:E→[0,1];
• 传播平局判定规则。

 

每个结点的状态包括已激活和未激活。每个结点只会被一个实体激活，不会被多个实体激活，一个结点一旦被一个实体激活，它就会一直保持被该实体激活的状态。传播过程从每个实体i的种子集合Sⁱ开始。在0时刻，如果u∈Sⁱ\(U_j≠iS^j)，则u被实体i激活，如果u被多于一个实体选为种子，则根据平局判定规则决定哪个实体激活u。

在0时刻之后每个实体的传播依照单实体的独立级联模型进行。

 

平局判定规则

    对于平局判定规则，一般在多个实体情形下考虑一下几个规则：

1. 1.        固定优先级规则

实体集合O有一个固定的全序优先级，如果在时刻t有实体子集U∈O中的实体同时尝试激活一个结点v（包括v被多个实体选为种子的情形），U中优先级最高的总是胜出。

1. 2.        固定权重规则

对于实体集合O有一个固定的权重向量φ=(φⁱ)_i∈O，φⁱ≥0，如果在时刻t有实体子集U∈O中的实体同时尝试激活一个结点v（包括v被多个实体选为种子的情形），则最终胜出实体i∈U的概率为φⁱ/∑_j∈Uφ^j。

1. 3.        随机顺序规则

每个结点v对其所有入邻居顶一个平等的随机顺序π_v；如果在时刻t≥1有多于一个实体v的入邻居尝试激活v时，这些入邻居按顺序π_v依次尝试激活v；第一个尝试成功的入邻居u所接受的实体i就是激活v的实体。如果v作为种子节点需要使用平局判定，则v利用另一个对所有实体的随机全序序列π_v^’进行判定，在所有将v选为种子的实体中排在π_v^’中最前面的胜出。

上面的随机顺序规则，等价于按尝试成功次数的比例进行抽样选取的规则。即如果在时刻t有实体子集U∈O中的实体同时成功尝试激活一个结点v，实体i∈U有aⁱ个v的入邻居都接受了实体i且在时刻t成功尝试激活v，那么接受i的概率为aⁱ/∑_j∈Ua^j。这是因为如果把这些成功尝试激活v的入邻居按随机顺序π_v排列起来，排在第一的入邻居为接受i的入邻居恰是aⁱ/∑_j∈Ua^j。对于实体的排序π_v^’也可以如下统一到对入邻居的排序中：对每个结点v和每个实体i生成一个虚拟节点vⁱ，该结点以概率1指向v，并规定实体i选v为种子就是选vⁱ为种子，这样v对于所有实体的排序就转化为对入虚拟邻居集合{vⁱ}的排序。

 

上面平局判定规则和竞争性的独立级联模型的一般描述结合在一起就完整刻画了多实体的网络传播过程。