因式分解技巧——轮换式与对称式
先来看几个代数式：\(xy\), \(x+y\), \(x^2y+xy^2\), \(xy+yz+xz\), \(x^3+y^3+z^3\).
交换这些式子中的任意两个字母，式子不变。我们把这样的式子叫做对称式。
再看几个式子：\(x^2y+y^2z+z^2x\), \(xyz\), \(xy^2+yz^2+zx^2\).
将这些式子中的 \(x\) 换成 \(y\)， 将 \(y\) 换成 \(z\), 将 \(z\) 换成 \(x\),即将字母做一个轮换， 式子保持不变。我们将这样的式子叫做轮换式。
明显地，对称式一定是轮换式，但轮换式未必是对称式。另外，两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）。
典型方法
分解因式：\(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\).
我们可以看到这是一个关于 \(x\), \(y\), \(z\) 的轮换式. 不妨把这个式子看作关于 \(x\) 的多项式。容易看出 \(y\) 是多项式的一个根，于是 \(x-y\) 是一个因式。
由于是轮换式， \(y-z\), \(z-x\) 也是它的因式， 从而它们的积 \((x-y)(y-z)(z-x)\) 也是因式。
原式是三次多项式，这个乘积也是三次的，因此两者最多相差一个常数因数，即
\(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=k(x-y)(y-z)(z-x).\)
为确定 \(k\), 我们来比较两边 \(x^y\) 项的系数，易得 \(k=-1\). 于是就有分解
\(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x).\)分解因式：\(a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)\).
与上例类似可知 \((a-b)(b-c)(c-a)\) 是它的因式。但原式是四次的，因此我们还缺一个一次因式。原式是轮换的，我们找到的乘积也是轮换的，所以寻求的那个一次因式也应该是轮换。同时根据两者的齐次性（无常数项），可知那个一次因式形如 \(k(a+b+c)\)。利用之前的比较系数法，或者取特殊值法，可求得 \(k=-1\).
即分解为 \(a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a).\)分解因式：\((a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3\).
取 \(a=0\), 得原式为 \(0\), 于是 \(a\) 是一个因式。因为它是轮换式，所以 \(abc\) 是它的因式。原式为三次，因此现在只相差一个常数了。不妨设
\((a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3=kabc.\)
取 \(a=b=c=1\), 得 \(k=24\), 于是有
\((a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3=24abc.\)
齐次轮换式的一般形式（以三元为例）
- 一次齐次的轮换式形如：\(l(x+y+z)\)
- 二次齐次的轮换式形如：\(l(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx)\)
- 三次齐次的轮换式形如：\(l(x^3+y^3+z^3)+m(x^2y+y^2z+z^2x)+n(xy^2+yz^2+zx^2)+kxyz\)
其中的 \(l\), \(m\), \(n\), \(k\) 是待定常数.
齐次与非齐次
分解因式：\((x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5\)
易知其有因式 \((x-y)(y-z)(z-x)\). 因为原式是五次齐次轮换式，所以还缺一个二次齐次轮换式。不妨设
\((x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5=(x-y)(y-z)(z-x)[l(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx)].\)
令 \(x=2\), \(y=1\), \(z=0\) 可得 \(5l+2m=15\).
令 \(x=1\), \(y=0\), \(z=-1\) 可得 \(2l-m=15\).
于是可得 \(l=5\), \(m=-5\). 这就给出了所要的因式分解.分解因式：\(a^5-b^5-(a-b)^5\).
记 \(y-z=a\), \(z-x=c=-b\), 则此题就变为上一例题。最后结果为
\(a^5-b^5-(a-b)^5=5ab(a-b)(a^2+b^2-ab).\)
一个有用的公式
- 分解因式：\(a^3+b^3+c^3-3abc\).
当 \(a=-(b+c)\) 时，原式为 \(0\), 所以原式有因式 \(a+b+c\). 再者，原式是三次齐次轮换式，所以我们还缺一个二次齐次轮换式因式。 不妨设
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[l(a^2+b^2+c^2)+m(ab+bc+ca)].\)
比较两边 \(a^3\) 的系数可得 \(l=1\). 比较 \(abc\) 的系数可得 \(m=-1\). 于是
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca].\)
有时候我们也把它写为
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2].\)
推论
若 \(a+b+c=0\), 则 \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
- 分解因式：\((y-z)^3+(z-x)^3+(x-y)^3\).
利用上面的推论立即可得
\((y-z)^3+(z-x)^3+(x-y)^3=3(y-z)(z-x)(x-y).\)
焉用牛刀
- 分解因式：\(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz\).
它如果能分解，那就有一次因式，而且还是其次轮换式。可以验证一次因式是 \(x+y+z\).
不过这里我们没必要用这种方法，因为直接分解更简单一点：
\begin{align*} x^2y+xy^2+xyz &=xy(x+y+z) \\ y^2z+yz^2+xyz&=yz(x=y+z)\\ z^2x+zx^2+xyz &=zx(x+y+z). \end{align*}
所以有
\(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx).\)
特殊的问题可以用特殊的方法处理，并不是每道题都非得用一般的方法去对付不可。
后面两节的内容有点复杂了，实在提不起兴趣。
