因式分解技巧——二元二次的分解

《因式分解技巧》，单墫著

欲擒故纵

• 分解因式 \(x^2+2xy-3y^2+3x+y+2\).
  如果只有二次项 \(x^2+2xy-3y^2\), 那么有
  
  如果没有含 \(y\) 的项，那么对于 \(x^2+3x+2\), 我们有
  
  如果没有含 \(x\) 的项，对于 \(-3y^2+y+2\)，我们有
  
  将上面三个分解“组合”起来，就有
  

两次十字相乘就可以确定算式中的6个数，第三次十字相乘只需利用已有的数进行检验，必要时把同一列的两个数的位置交换一下。

三元齐次

上述方法同样适用于三元齐次式，比如

项数不全

如果二次式中缺少一项或几项，这种方法仍然可用，而且通常更为简单。

• \(x^2-y^2+5x+3y+4=(x+y+1)(x-y+4)\).

能否分解

二元二次式并不是一定能分解的。如果三个十字相乘不能拼成一个长十字相乘，那么这个二元二次式就不能分解。

• \(m\) 为何值时， \(x^2+7xy-18y^2-5x+my-24\) 可以分解为两个一次因式的积？
  先分解二次齐次式 \(x^2+7xy-18y^2=(x+9y)(x-2y)\).
  再分解不含 \(y\) 的项 \(x^2-5x-24=(x-8)(x+3)\).
  在把这两个十字相乘进行组合的时候，要注意到可能会出现两种情况：

\[-18y^2+my-24=(9y-8)(-2y+3), \quad \text{或}\quad -18y^2+my-24=(9y+3)(-2y-8) \]

所以 \(m=43\), 或者 \(m=-78\).