因式分解技巧——分组分解

《因式分解技巧》，单墫著

整式 \(ax-by-bx+ay\) 的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解。

三步曲

以前面的式子为例。

• 将原式的项适当分组：$$(ax-bx)+(ay-by)$$
• 对每一组进行处理（“提”或“代”）： $$x(a-b)+y(a-b)$$
• 将处理后的每一组当作一项，再进行“提”或“代”： $$(x+y)(a-b)$$

一个整式的项可能有多种分组的方法，初学者往往需要经过尝试才能找到适当的分组方法。

平均分配

如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配。

• 分解因式：\(x^3-2x^2-x+2+x^5-2x^4\).
  6项可以分成三组，每组两项。我们把幂次相近的项放在一起，即 $$(x^5-2x4)+(x^3-2x2)-(x-2)$$
  提项 $$x^4(x-2)+x2(x-2)-(x-2)$$
  再提项 $$(x-2)(x^4+x2-1)$$

这题还可以按分两组（按系数分）的方法进行分解。

瞄准公式

如果在第二步或第三步中需要应用乘法公式，那么各组中的项数不一定相等，应当根据公式的特点来确定。

以书中的例7为例：分解因式 \(x^4+x^3+2x^2+x+1\).

• 为使用完全平方公式进行分组 $$(x^2+2x2+1)+(x^3+x)$$
  使用公式及提取公因式 $$(x²⁺¹⁾2+x(x^2+1)$$
  提取公因式 $$(x^2+1)(x2+x+1)$$

这题还可以用拆项的方法

• 拆项 $$(x^4+x3+x^2)+(x2+x+1)$$
  提取公因式 $$x^2(x2+x+1)+(x^2+x+1)$$
  提取公因式 $$(x^2+1)(x2+x+1)$$

从头再来

如果分组分得不恰当，因式分解无法进行下去，那么就应当回到分组前，从零开始，考虑新的分组。

对于多项式 \(x^3+x^2-y^3-y^2\)，如果按照含“\(x\)”、“\(y\)”进行分组，那么得到 $$x^(x+1)-y2(y+1)$$ 之后就无法进行再分解了。这时就需要从头再来。
这一次，我们按次数来分组 $$(x^3-y3)+(x^2-y2)$$
使用平方差及立方差公式即可得到 $$(x-y)(x^2+xy+y2+x+y).$$