用面积来证三角不等式

《高中数学解题36术》第4页例2：

已知 \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\in \mathbb{R}\), \(0<\alpha<\beta<\gamma<\frac{\pi}{2}\), 证明：\(\pi +4\sin\alpha\cos\beta+4\sin\beta\cos\gamma>2\sin 2\alpha+2\sin 2\beta+2\sin 2\gamma\).

易知，待证不等式等价于 $$\frac{\pi}{4}>\sin \alpha(\cos\alpha-\cos\beta)+\sin\beta(\cos\beta-\cos\gamma)+\sin\gamma\cos\gamma.\quad (1)$$

书上给出的几何法非常巧妙。如下图所示，

不等式 \((1)\) 式的左边即是单位圆在第一象限内的面积；右侧的三项分别是图中三个矩形的面积。由图可知，不等式显然成立。

但我还是想知道，有没有可能从三角函数的变换方面把这个题目证出来。