一条直线若能平分矩形面积,则它必然经过矩形的中心
看到很多资料对此一笔带过,于是就想给个细一点的解释。
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我一开始的想法写起来很繁琐,根本没有存在的价值。。。
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一位网友给出的证明是这样的:如下图所示,
首先可以证明,若直线不分割对边,而是分割邻边,那么它不能把矩形分成相等的两半(连接对角线可以看出这一点)。
图中的 \(a\),\(b\),\(c\),\(d\) 是分割出的四个线段的长度。因为对边相等,所以
\[a+d=b+c.
\]
再因为左右两个梯形面积相等,于是根据梯形面积公式得
\[a+b=c+d.
\]
结合上面两式,即可得到
\[a=c, \quad b=d.
\]
利用对顶的两个三角形全等,可知矩形中心(对角线的中点)在直线上。
2014.10.21修改