巧用绝对值解题

给邮箱回复了，但一直没回应，不知为何。

• 2.2 巧解绝对值求值（10页）

它说的那个常规策略有点假啊，会有学生不看题设直接讨论零点么？

• 12页题6

某环形道路上顺次排列有四所中学：\(A_1\)、\(A_2\)、\(A_3\)、\(A_4\), 它们分别有彩电 \(15\) 台、\(8\) 台、\(5\) 台、\(12\) 台.为试各校的彩电数相同, 允许一些中学向相邻中学调出彩电, 问怎样调配才能使调出的彩电总台数最少？

这个类型的题目，我第一次见到是在Algebra上。那里的题目比这个要复杂一点，但是配上了一个图。

解答如下：

设 \(A_1\) 中学调给 \(A_2\) 中学 \(x_1\) 台彩电（若 \(x_1\) 为负数，则认为是 \(A_2\) 中学向 \(A_1\) 中学调出 \(-x_1\)台彩电，以下同）；\(A_2\) 中学调给 \(A_3\) 中学 \(x_2\) 台彩电；\(A_3\) 中学调给 \(A_4\) 中学 \(x_3\) 台彩电；\(A_4\) 中学调给 \(A_1\) 中学 \(x_4\) 台彩电．
因为彩电共有 \(15+8+5+12=40\) 台，平均每校 \(10\) 台。
所以

\[15-x_1+x_4=10,\quad 8-x_2+x_1=10，\quad 5-x_3+x_2=10，12-x_4+x_3=10 \]

\[x_4=x_1-5，\quad x_1=x_2+2，\quad x_2=x_3+5，x_3=x_4-2 \]

\[x_4=x_1-5，\quad x_2=x_1-2，\quad x_3=x_2-5=x_1-2-5=x_1-7 \]

题目要求 \(y=|x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|=|x_1|+|x_1-2|+|x_1-7|+|x_1-5|\) 的最小值，其中 \(x_1\) 是满足 \(-8\leq x_1\leq 15\) 的整数．
设 \(x_1=x\)，考虑定义在 \(-8\leq x_1\leq 15\) 上的函数

\[y=|x|+|x-2|+|x-7|+|x-5|. \]

因为 \(|x|+|x-7|\) 表示数 \(x\) 到 \(0\) 与 \(7\) 的距离之和，当 \(0\leq x\leq 7\) 时，\(|x|+|x-7|\) 取得最小值 \(7\)；
同理，当 \(2\leq x\leq 5\) 时，\(|x-2|+|x-5|\) 取得最小值 \(3\)。
故当 \(2\leq x \leq 5\) 时，\(y\) 取最小值 \(10\)，即当 \(x=2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\) 时，\(|x_1|+|x_1-2|+|x_1-7|+|x_1-5|\) 取最小值 \(10\)．所以，调出彩电最少总台数为 \(10\)．