Distinct Subsequences

Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences of T in S.

A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie, "ACE" is a subsequence of "ABCDE" while "AEC" is not).

Here is an example:
S = "rabbbit", T = "rabbit"

Return 3.

首先考虑动态规划，最初的想法是用矩阵grid[i][j]记录S[i]是否能与T[j]匹配，然后从右下角开始找，每步只能向左或者左上走，统计有多少条路可以到达左上角，但是发现会有问题，无法找到rabbbit这条路线(红色表示去掉的)。重新考虑状态方程，将grid[i][j]表示S(0,i)中T(0,j)出现的次数，首先，无论S[i]和T[j]是否相等，若不使用S[i]，则grid[i][j] = grid[i-1][j]；若S[i]==T[j]，则可以使用S[i]，则有grid[i][j] = grid[i-1][j]+grid[i-1][j-1]。这样使用了m*n的额外空间。由状态方程可以看出，第i行上的元素只与i-1行有关，则可以只记录本行和上一行的状态，之前的可以抛弃，这样，将空间复杂度降低到了O(n)。时间复杂度为O(m*n)。

代码如下：

public int numDistinct(String S, String T) {
        int grid[] = new int[T.length()+1];
        grid[0] = 1;
        for (int i = 0; i < S.length(); ++i) {
            for (int j = T.length() - 1; j >= 0; --j) {
                grid[j + 1] += S.charAt(i) == T.charAt(j) ? grid[j] : 0;
            }
        }
        return grid[T.length()];
    }