【学习笔记】Palindrome Series
SoyTony 近日每天给我讲字符串，我听的受不了了，所以我要来写字符串的博。
前情提要：全是感情，没有证明。
bikuhiku 说我不应该使用“前情提要”这个词，我想了想感觉很对，那换一个词。
前情提要：全是感情，没有证明。
Border Series
Border 有一个性质：对于一个长为 \(n\) 的字符串，其所有长度大于等于 \(\frac{n}{2}\) 的 Border 构成等差数列。
感性理解下，如果大于 \(\frac{n}{2}\)，那么前后缀的交集就又是一个 Border。
那么由此可以推出一个性质：一个字符串的 Border 可以划分为 \(\log n\) 段等差序列。
这就是 Border Series。
不知道有啥用，如果有人有例题麻烦给我一个。
Palindrome Series
众所周知，回文串有着与 Border 类似的性质，于是上面的性质可以直接搬过来用。
也就是，对于一个回文串，它的回文串后缀的长度也可以划分为 \(\log n\) 段等差序列。
然后它可以用来解决一些回文串 DP 的问题。
这类问题一般转移式子长这样：
其中 \(P\) 为回文串集合。
比如一个简单的例子，求将一个字符串划分为若干个回文串，有多少种划分方案。那么转移式子就应该是：
枚举 \(j\) 显然没啥前途，我们考虑对原串构造 PAM。那么当建到 \(i\) 这一位时，假如此时在 PAM 上对应的节点为 \(p\)，那么转移式子其实就是：
这样就可以除掉 \(s[j, i] \in P\) 的限制了。但是这样改完之后，一直跳 fail 仍然是 \(O(n)\) 的，复杂度貌似没啥改变。
此时考虑我们上面得到的性质：那么从 \(p\) 到根节点的所有节点可以划分为 \(\log n\) 条链。我们不妨对这 \(\log n\) 条链维护答案。
具体的，设 \(top_u\) 为 \(u\) 节点所在链的链顶的父节点，\(diff_u\) 为 \(len_u-len_{fail[u]}\)，这两条信息都可以在构建 PAM 的时候顺便维护出来。
然后考虑维护另一个 DP 数组 \(g_u\) 表示从 \(u\) 节点一直到 \(top_u\) 节点（不含 \(top_u\)）的答案和。
由于 \(len\) 构成等差数列，\(g_u\) 是很好转移的。事实上，\(g_u\) 只比 \(g_{fail[u]}\) 多一个答案。可以举一个例子来看怎么转移。
假如现在转移到第 \(7\) 位，那么此时 PAM 上对应的节点的 \(g_u\) 应当为 \(f_0+f_2+f_4+f_6\) （即图中打 x 的地方）
假设现在转移到了第 \(9\) 位，那么发现实际上现在的 \(g_u\) 仅仅比 \(g_{fail[u]}\) 多出链中最短的串对应的 \(f_i\)（也就是红色的 x）。而当前链中最短的串的长度 \(l = len_{top_u} + diff_u\)，那么当前要加上的答案就是 \(f_{i - l}\)。
也就是说，\(g_u\) 的转移式子为 \(g_u = g_{fail[u]} + f_{i - l}\)。需要注意 \(fail[u]\) 是否与 \(u\) 在同一个链内，如果不是就不能加上 \(g_{fail[u]}\)。
代码大概长这样：
void solve(int i) {
for (int p = lst; p > 1; p = top[p]) {
int l = len[top[p]] + diff[p];
g[p] = f[i - l];
if (diff[p] == diff[fail[p]]) {
g[p] += g[fail[p]];
}
f[i] += g[p];
}
}
于是每次插入一个字符之后执行一次 solve 函数即可维护出 \(f\) 数组。
放几道例题：
IITKWPCE - Let us play with strings
这个是纯板子，只不过从求和改成了找最小值。那么把上面的加和改为 \(\min\) 即可。
CF932G Palindrome Partition
题目要求将字符串划分偶数段，求满足 \(s_i=s_{k-i+1}\) （\(k\) 为划分的字符串数）的划分方案数。
我们可以将字符串复制一遍翻转过来，然后按照奇偶顺序将两个字符串插入到一起，那么上面的条件就转化成了求偶回文串的划分方案数的问题了。于是直接套上面的板子即可。
CF906E Reverses
题目给出 \(s,t\) 两个字符串，求至少需要翻转 \(s\) 中的多少不相交的区间才能够使 \(s=t\)。
同样发现假如按照奇偶将 \(s\) 与 \(t\) 合并，那么如果一个区间翻转之后与 \(t\) 中对应区间相等当且仅当新构造的字符串对应区间为偶回文串，于是直接求该字符串最少划分成多少个回文串。
注意到当长度为 \(1\) 时不需要翻转，所以我们在转移的时候直接判断一下，假如现在最后两位相同那么直接从 \(f_{i-2}\) 向 \(f_i\) 转移一下。注意 \(g_i\) 转移的时候不可以进行这样的特判。（具体看一下上面的图就明白了，转移的时候长度为 \(2\)，但是到后面的时候长度就不是 \(2\)了，虽然本题转移了也不会错，但还是要注意转移中的式子不可以跟串的长度有关）
这题还需要输出方案，于是同时记录一下 \(f\) 和 \(g\) 数组的决策点即可。
HDU5340 Three Palindromes
可以整个二维 DP，然后用同样的方式转移即可。
URAL1954 Five Palindromes
怎么又有一个这种题
