【日总结】2022.11.20
持续更新 做了多少东西就放多少东西）
次小质因子前缀和
【UR #13】Sanrd
设 \(f(x)\) 为 \(x\) 的次大质因子，若 \(x\) 为质数或 \(1\) 则 \(f(x)=0\)，求 \(f(x)\) 的前缀和。\(x \le 10^{11}\)
考虑 min_25 筛：首先先看一般 min_25 筛的式子，看看我们需要做什么。
那么我们考虑 \(f(x)\) 怎么去求：首先对于前面的质数处的点值肯定为 \(0\)，而考虑每次消一个质因子的贡献。对于形如 \(f(p_k^e\times \cdots)\) 的数，我们枚举了一个质因子，假如现在除去这个质因子就仅剩下一个质数了，那么这个数就一定是质因子，否则当前这个数就没贡献，\(f(x)=f(\frac{x}{p_k^e})\)；对于形如 \(p_k^{e+1}\) 的数，答案就是 \(p_k\)。那么我们就可以将 min_25 的式子改写为以下形式：
然后直接套 min_25 筛的板子就做完了。
「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和
随便推一下式子，发现题目要求的就是 \(f^k * \mu\) 的前缀和。
显然考虑杜教筛，卷一个 \(I\) 即可消去 \(\mu\)，然后再求 \(f^k\) 的前缀和，这部分直接套用上面的做法即可。
有向图判环
昨晚上想了一下，然后补一下昨天的那个判环算法。
对于每一条边，判断是否存在包括 \(u-v\) 边的环。
可以从每个点开始，考虑每个点最靠左能被哪个点到达，最靠右能被哪个点到达，这个可以直接从左到右 DFS，再从右到左 DFS 做到。然后如果这个点最靠左只能是从自己到达，最靠右也只能从自己到达，那这就不存在包含这条边的环。
杂题
[ARC149E] Sliding Window Sort
昨晚上写这个题的题解，把代码复制到洛谷博客上之后电脑黑屏了。
然后就不打算再写一遍了，太恶心了。
但是毕竟是没看题解做出来的题，还是要写一个大致做法纪念一下。
手模一下发现这东西类似于一个小根堆加一个队列，每次操作相当于弹出堆顶放到队列尾，然后将队列首插入堆。
发现这样的操作操作若干次后，比较大的数就永远在堆的底下了，每次只会将堆顶与队列进行循环。这样我们可以通过终止状态推出 \(k\) 较小时候的状态。这时候就可以把原题的环上问题变成链上问题了。如果 \(k\) 比较小，发现序列的最后几个数就是没有用的，可以直接删掉，总之我们可以将任意问题转换成 \(k=n-m+1\) 的情况。
然后计数这东西可以考虑一下加数的过程，如果现在的数比堆中的数要小，那肯定这个数是新加进去的，就只能放在最后一位，否则这个数可以是之前堆里就有的也可以是在最后一位新加进去的。设后者的数量有 \(t\) 个，那么答案就是 \(m^t(m-1)!\)。\((m-1)!\) 是因为还有 \(m-1\) 个数没填，这几个数可以任意填。
另外还需要判断一下是否无解。
[ARC150D] Removing Gacha
好题？
首先根据期望的线性性，答案应该就是每个点被选多少次之后成为好点的期望值的和。
于是我们单独来考虑一个点，那么这个点成为好点当且仅当这个点到根的路径都被选择过了。这个是经典赠券收集问题，答案就是 \(\sum_{i=1}^n\frac{n}{i}\)，那么其中一个点被选中的期望次数就是 \(\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\)。
于是处理出来每个点的深度，然后预处理出来调和级数，就可以求答案了。
lyin 说这是经典结论，事实证明我做题确实还是太少了。
[ARC147D] Sets Scores
钓鱼题）
题意可以转化成：有一个长度为 \(m\) 的 01 串，进行 \(n-1\) 次操作，每次翻转一位，定义这样的初始串与操作序列的权值为最后得到的 \(n\) 个 01 串中每一位的 1 的数量的乘积。
感觉给定一个操作序列求权值这件事情就很困难，但是注意到是对所有方案求和，那么我们考虑对于某一种操作序列，将所有的初始 01 串的权值和加起来。发现如果 01 串的某一位初始为 0 与 1，其这一位的 1 的数量加起来正好是 \(n\)。那么其实对于所有的 01 串，权值和就是 \(n^m\)，而操作序列有 \(m^{n-1}\) 种，那么答案就是 \(n^mm^{n-1}\)。
这个数据范围给的怎么看怎么像是 \(O(n)\) 或 \(O(n\log n)\) 的 DP，想了半天才想到直接把所有方案全加起来，太钓鱼了。
思考要不要去做难度高于 3000 的题，感觉做了没啥意义，自己啥也想不出来还浪费时间..?
发现了好东西：emoji
测试：🤔 😅
