【杂谈】所以什么是功？

有人要我写 whk 日记，写这玩意好像也没啥意思，那就研究点有意思的东西吧。

初中阶段我们学习了什么是功：物体在力的作用下移动了一段距离，就叫做功。令 $W$ 为功，$F$ 为力，$s$ 为沿力的方向移动的距离，那么 $W=Fs$。

我们先按照这个公式去考虑，先不考虑力与位移方向不同的情况。那么有一个问题：为什么这么定义功？

很喜欢知乎答主的一句话：

？

okok，高一生很容易就看懂了，谢谢。

我们来从牛顿第二定律出发：$F=ma$。

众所周知，加速度 $a$ 是速度 $v$ 关于 $t$ 的变化量，那么：

$$F=m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$$

两边同乘 $\mathrm{d}s$：

$$F\mathrm{d}s=m\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}v$$

$$F\mathrm{d}s=mv\mathrm{d}v$$

$$F\mathrm{d}s=\mathrm{d}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)$$

假如我们让两边同时积分，就得到了以下式子：

$${\int }_l^{r}F\mathrm{d}s={\int }_l^r\mathrm{d}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)$$

即：

$$Fs=\frac{1}{2}m{v}_r^2-\frac{1}{2}m{v}_l^2$$

呦呦呦，这不是动能定理吗？

也就是说，如果我们定义动能 $E_t=\frac{1}{2}m{v}_t^2$，功 $W=Fs$，那么就有：

$$W=E_r-E_l$$

那么也就是说，功就是动能在一个过程中的变化量。这样其实就说通很多了，我们做的就是将一个过程的变化映射到了一个整值上，这样我们只考虑这个功就能得知动能的变化量，无需知道中间的过程到底是啥样的。

重力势能？我们考虑直接从动能的角度去推导。我们考虑一个物体由静止开始自由落体的过程，肯定有：

$$v_t^2=2gh$$

两边同时乘 $\frac{1}{2}m$，即为：

$$\frac{1}{2}m{v}_t^2=mgh$$

呦呦呦，这不是重力势能吗？

也就是说，重力势能可以看作是自由落体时的动能。定义 $E_p=mgh$，那么此时重力势能的差就等于动能的差，即前面定义的功。

那么引出一个问题：为啥我要定义成物体由静止开始自由落体的过程呢？考虑这样一件事情，假如我们存在初速度 $v_0$，那么上面过程得到的就是 $\frac{1}{2}m{v}_t^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2=mgh$。但是注意到一件事情，我们进行运算的时候，计算的是重力势能的差，那么就算是我们定义 $E_p=mgh+\frac{1}{2}m{v}_0^2$，那么当两个重力势能做差时，最后得到的功与原来是一模一样的。实际上，如果我们直接从 $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=g$ 出发，可以得到和上述一模一样的结论。

同理，我们定义 $E_p=mgh+C$，其中 $C$ 是任意一个常数，都是一模一样的，不会对最后得到的结果造成任何影响。实际上，上述过程中我们定义动能为 $E_t=\frac{1}{2}m{v}^2+C$，也是完全没有问题的。当然为了简化问题，我们就都令 $C=0$ 了。这本质上与不定积分的 $+C$ 是道理相同的。

或者这么来考虑：动能就是功的一个原函数，这就是牛顿-莱布尼茨公式应用在功上的结果。

为啥动能与 $m$ 和 $v^2$ 是分别成正比的啊？怎么不是与 $v$ 成正比的啊？

我们先令 $E$ 为一个关于 $m,v$ 的函数，即 $E(m,v)$。

为什么动能与质量成正比？

老子也没说明白，他不是语言可以描述的，后来西方的语言哲学家叫维特根斯坦，把这个事说了一句名言，维特根斯坦说，这个世界上有语言能说的，叫说清楚，这个世界上也有超出语言说不明白的，维特根斯坦直接用了俩字，闭嘴

那为啥动能与 $v^2$ 成正比呢？首先我们需要知道一点，就是速度本身是一个相对的量。在不同的惯性系中，速度不一定是相同的。也就是说，动能本身是一个相对的量，这与我们前面得到结果是一致的。那么我们换一种方式去考虑动能，由于能量守恒，若一个物体以一个速度撞击墙面并完全静止后，产生的能量转化为热量，那么我们可以测量热量来得到动能。而不同的参考系中，热量应当是不变的，这好像也叫 Galilei 不变性 啥的，不懂了。

那么考虑这样一个过程：两个小球均以 $v$ 的速度相撞并最后静止。那么我们可以得到产生的热量即为：

$$E(m,v)+E(m,v)=2E(m,v)$$

那么假如我们变换一下参考系，我们现在坐在一辆速度为 $v$ 的车上去观察这件事情。此时一个小球静止，另一个小球速度为 $2v$，总动能为 $E(m,2v)$。那么两个小球撞击后，速度变为 $v$，总动能为 $2E(m,v)$，即产生的热量：

$$E(m,2v)-2E(m,v)$$

那么热量肯定是不会改变的，即：

$$E(m,2v)-2E(m,v)=2E(m,v)$$

$$E(m,2v)=4E(m,v)$$

那么也就是说，函数 $E(m,v)$ 中 $v$ 扩大到两倍，函数值扩大到原来的四倍。那么这就能说明函数是关于 $v^2$ 成正比的，而不是关于 $v$ 成正比的了。

$W=Fs$ 是功在一维下的情况，高中我们给出了一个定义式 $W=Fl\cos \alpha$。容易发现这其实就是两个向量的数量积（点积），也就是这实际上是 $W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}$。那么这个式子就很容易能拓展到 $n$ 维上，知乎上说这与力和位移的对偶性有关系，这个我搜了搜，涉及到复变分析 blabla 的，完全看不懂就咕了。

滚。