【杂谈】所以什么是功？

有人要我写 whk 日记，写这玩意好像也没啥意思，那就研究点有意思的东西吧。

初中阶段我们学习了什么是功：物体在力的作用下移动了一段距离，就叫做功。令 \(W\) 为功，\(F\) 为力，\(s\) 为沿力的方向移动的距离，那么 \(W=Fs\)。

我们先按照这个公式去考虑，先不考虑力与位移方向不同的情况。那么有一个问题：为什么这么定义功？

很喜欢知乎答主的一句话：

okok，高一生很容易就看懂了，谢谢。

我们来从牛顿第二定律出发：\(F = ma\)。

众所周知，加速度 \(a\) 是速度 \(v\) 关于 \(t\) 的变化量，那么：

\[F = m \frac{\mathrm d v}{\mathrm d t} \]

两边同乘 \(\mathrm d s\)：

\[F \mathrm d s = m \frac{\mathrm d s}{\mathrm d t} \mathrm d v \]

\[F \mathrm d s = mv \mathrm d v \]

\[F \mathrm d s = \mathrm d \left(\frac{1}{2}mv^2\right) \]

假如我们让两边同时积分，就得到了以下式子：

\[\int_l^r F \mathrm d s = \int_l^r \mathrm d \left(\frac{1}{2}mv^2\right) \]

即：

\[Fs = \frac{1}{2}mv_r^2 - \frac{1}{2}mv_l^2 \]

呦呦呦，这不是动能定理吗？

也就是说，如果我们定义动能 \(E_t = \frac{1}{2} mv_t^2\)，功 \(W = Fs\)，那么就有：

\[W = E_r - E_l \]

那么也就是说，功就是动能在一个过程中的变化量。这样其实就说通很多了，我们做的就是将一个过程的变化映射到了一个整值上，这样我们只考虑这个功就能得知动能的变化量，无需知道中间的过程到底是啥样的。

重力势能？我们考虑直接从动能的角度去推导。我们考虑一个物体由静止开始自由落体的过程，肯定有：

\[v_t^2 = 2gh \]

两边同时乘 \(\frac{1}{2}m\)，即为：

\[\frac{1}{2}mv_t^2= mgh \]

呦呦呦，这不是重力势能吗？

也就是说，重力势能可以看作是自由落体时的动能。定义 \(E_p = mgh\)，那么此时重力势能的差就等于动能的差，即前面定义的功。

那么引出一个问题：为啥我要定义成物体由静止开始自由落体的过程呢？考虑这样一件事情，假如我们存在初速度 \(v_0\)，那么上面过程得到的就是 \(\frac{1}{2}mv_t^2 - \frac{1}{2}mv_0^2= mgh\)。但是注意到一件事情，我们进行运算的时候，计算的是重力势能的差，那么就算是我们定义 \(E_p = mgh + \frac{1}{2}mv_0^2\)，那么当两个重力势能做差时，最后得到的功与原来是一模一样的。实际上，如果我们直接从 \(\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t} = g\) 出发，可以得到和上述一模一样的结论。

同理，我们定义 \(E_p = mgh + C\)，其中 \(C\) 是任意一个常数，都是一模一样的，不会对最后得到的结果造成任何影响。实际上，上述过程中我们定义动能为 \(E_t = \frac{1}{2} mv^2 + C\)，也是完全没有问题的。当然为了简化问题，我们就都令 \(C=0\) 了。这本质上与不定积分的 \(+C\) 是道理相同的。

或者这么来考虑：动能就是功的一个原函数，这就是牛顿-莱布尼茨公式应用在功上的结果。

为啥动能与 \(m\) 和 \(v^2\) 是分别成正比的啊？怎么不是与 \(v\) 成正比的啊？

我们先令 \(E\) 为一个关于 \(m, v\) 的函数，即 \(E(m, v)\)。

为什么动能与质量成正比？

老子也没说明白，他不是语言可以描述的，后来西方的语言哲学家叫维特根斯坦，把这个事说了一句名言，维特根斯坦说，这个世界上有语言能说的，叫说清楚，这个世界上也有超出语言说不明白的，维特根斯坦直接用了俩字，闭嘴

那为啥动能与 \(v^2\) 成正比呢？首先我们需要知道一点，就是速度本身是一个相对的量。在不同的惯性系中，速度不一定是相同的。也就是说，动能本身是一个相对的量，这与我们前面得到结果是一致的。那么我们换一种方式去考虑动能，由于能量守恒，若一个物体以一个速度撞击墙面并完全静止后，产生的能量转化为热量，那么我们可以测量热量来得到动能。而不同的参考系中，热量应当是不变的，这好像也叫 Galilei 不变性 啥的，不懂了。

那么考虑这样一个过程：两个小球均以 \(v\) 的速度相撞并最后静止。那么我们可以得到产生的热量即为：

\[E(m, v) + E(m, v) = 2E(m, v) \]

那么假如我们变换一下参考系，我们现在坐在一辆速度为 \(v\) 的车上去观察这件事情。此时一个小球静止，另一个小球速度为 \(2v\)，总动能为 \(E(m, 2v)\)。那么两个小球撞击后，速度变为 \(v\)，总动能为 \(2E(m, v)\)，即产生的热量：

\[E(m, 2v) - 2E(m, v) \]

那么热量肯定是不会改变的，即：

\[E(m, 2v) - 2E(m, v) = 2E(m, v) \]

\[E(m, 2v) = 4E(m, v) \]

那么也就是说，函数 \(E(m, v)\) 中 \(v\) 扩大到两倍，函数值扩大到原来的四倍。那么这就能说明函数是关于 \(v^2\) 成正比的，而不是关于 \(v\) 成正比的了。

\(W=Fs\) 是功在一维下的情况，高中我们给出了一个定义式 \(W=Fl \cos \alpha\)。容易发现这其实就是两个向量的数量积（点积），也就是这实际上是 \(W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{s}\)。那么这个式子就很容易能拓展到 \(n\) 维上，知乎上说这与力和位移的对偶性有关系，这个我搜了搜，涉及到复变分析 blabla 的，完全看不懂就咕了。

滚。