【杂谈】所以什么是功?

有人要我写 whk 日记,写这玩意好像也没啥意思,那就研究点有意思的东西吧。

初中阶段我们学习了什么是功:物体在力的作用下移动了一段距离,就叫做功。令 W 为功,F 为力,s 为沿力的方向移动的距离,那么 W=Fs

我们先按照这个公式去考虑,先不考虑力与位移方向不同的情况。那么有一个问题:为什么这么定义功?

很喜欢知乎答主的一句话:

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okok,高一生很容易就看懂了,谢谢。

我们来从牛顿第二定律出发:F=ma

众所周知,加速度 a 是速度 v 关于 t 的变化量,那么:

F=mdvdt

两边同乘 ds

Fds=mdsdtdv

Fds=mvdv

Fds=d(12mv2)

假如我们让两边同时积分,就得到了以下式子:

lrFds=lrd(12mv2)

即:

Fs=12mvr212mvl2

呦呦呦,这不是动能定理吗?

也就是说,如果我们定义动能 Et=12mvt2,功 W=Fs,那么就有:

W=ErEl

那么也就是说,功就是动能在一个过程中的变化量。这样其实就说通很多了,我们做的就是将一个过程的变化映射到了一个整值上,这样我们只考虑这个功就能得知动能的变化量,无需知道中间的过程到底是啥样的。

重力势能?我们考虑直接从动能的角度去推导。我们考虑一个物体由静止开始自由落体的过程,肯定有:

vt2=2gh

两边同时乘 12m,即为:

12mvt2=mgh

呦呦呦,这不是重力势能吗?

也就是说,重力势能可以看作是自由落体时的动能。定义 Ep=mgh,那么此时重力势能的差就等于动能的差,即前面定义的功。

那么引出一个问题:为啥我要定义成物体由静止开始自由落体的过程呢?考虑这样一件事情,假如我们存在初速度 v0,那么上面过程得到的就是 12mvt212mv02=mgh。但是注意到一件事情,我们进行运算的时候,计算的是重力势能的差,那么就算是我们定义 Ep=mgh+12mv02,那么当两个重力势能做差时,最后得到的功与原来是一模一样的。实际上,如果我们直接从 dvdt=g 出发,可以得到和上述一模一样的结论。

同理,我们定义 Ep=mgh+C,其中 C 是任意一个常数,都是一模一样的,不会对最后得到的结果造成任何影响。实际上,上述过程中我们定义动能为 Et=12mv2+C,也是完全没有问题的。当然为了简化问题,我们就都令 C=0 了。这本质上与不定积分的 +C 是道理相同的。

或者这么来考虑:动能就是功的一个原函数,这就是牛顿-莱布尼茨公式应用在功上的结果。

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为啥动能与 mv2 是分别成正比的啊?怎么不是与 v 成正比的啊?

我们先令 E 为一个关于 m,v 的函数,即 E(m,v)

为什么动能与质量成正比?

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老子也没说明白,他不是语言可以描述的,后来西方的语言哲学家叫维特根斯坦,把这个事说了一句名言,维特根斯坦说,这个世界上有语言能说的,叫说清楚,这个世界上也有超出语言说不明白的,维特根斯坦直接用了俩字,闭嘴

那为啥动能与 v2 成正比呢?首先我们需要知道一点,就是速度本身是一个相对的量。在不同的惯性系中,速度不一定是相同的。也就是说,动能本身是一个相对的量,这与我们前面得到结果是一致的。那么我们换一种方式去考虑动能,由于能量守恒,若一个物体以一个速度撞击墙面并完全静止后,产生的能量转化为热量,那么我们可以测量热量来得到动能。而不同的参考系中,热量应当是不变的,这好像也叫 Galilei 不变性 啥的,不懂了。

那么考虑这样一个过程:两个小球均以 v 的速度相撞并最后静止。那么我们可以得到产生的热量即为:

E(m,v)+E(m,v)=2E(m,v)

那么假如我们变换一下参考系,我们现在坐在一辆速度为 v 的车上去观察这件事情。此时一个小球静止,另一个小球速度为 2v,总动能为 E(m,2v)。那么两个小球撞击后,速度变为 v,总动能为 2E(m,v),即产生的热量:

E(m,2v)2E(m,v)

那么热量肯定是不会改变的,即:

E(m,2v)2E(m,v)=2E(m,v)

E(m,2v)=4E(m,v)

那么也就是说,函数 E(m,v)v 扩大到两倍,函数值扩大到原来的四倍。那么这就能说明函数是关于 v2 成正比的,而不是关于 v 成正比的了。

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W=Fs 是功在一维下的情况,高中我们给出了一个定义式 W=Flcosα。容易发现这其实就是两个向量的数量积(点积),也就是这实际上是 W=Fs。那么这个式子就很容易能拓展到 n 维上,知乎上说这与力和位移的对偶性有关系,这个我搜了搜,涉及到复变分析 blabla 的,完全看不懂就咕了。

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滚。

posted @   APJifengc  阅读(332)  评论(17编辑  收藏  举报
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