「解题报告」CF960G Bandit Blues

无脑的 APJ 用最无脑的方法解题！！！做了两天图论脑子爆炸后的 apj 寻求精神慰藉

首先考虑 $n$ 一定是从前往后的最大值与从后往前的最大值，这样我们只需要求出长度为 $n$，有 $k$ 个前缀最大值的排列数量，记作 $f_{n,k}$。

考虑每次将当前排列中的最大值与最大值后面的排列去掉，这样就能递归到一个子问题里。例如 $1,4,2,6,3,5$，我们可以将 $6,3,5$ 删去。枚举删去的后缀的长度 $i$，那么后缀本身的方案有 $(i-1)!$ 种，将后缀与前缀混合在一起的方案数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1})$，所以我们可以得出转移式子：

$$f_{n,k}=\sum _{i=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1})(i-1)!f_{n-i,k-1}$$

然后把组合数拆一下，移项，得：

$$\frac{f_{n,k}}{n!}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{f_{n-i,k-1}}{(n-i)!}$$

后面求和指标换一下：

$$\frac{f_{n,k}}{n!}=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}\frac{f_{i,k-1}}{i!}$$

然后无脑写成生成函数，设 $F_k(x)=\sum _{i\ge 0}\frac{f_{i,k}}{i!}{x}^i$，那么容易推出：

$$F_k(x)=\int \frac{F_{k-1}(x)}{1-x}\mathrm{d}x$$

这个式子直接做看起来还是不可做。我们代具体的式子进去试试：

由于有 $F_0(x)=1$，那么有：

$$\begin{array}{rl}{F}_1(x)& =\int \frac{1}{1-x}\mathrm{d}x\\ & =-\ln (1-x)\\ F_2(x)& =\int \frac{-\ln (1-x)}{1-x}\mathrm{d}x\\ & =\int (-\ln (1-x))(-\ln (1-x){)}^{\prime }\mathrm{d}x\\ & =\int u\mathrm{d}u\\ & =\frac{u^2}{2}\\ & =\frac{(-\ln (1-x){)}^2}{2}\\ F_3(x)& =\int \frac{(-\ln (1-x){)}^2}{2(1-x)}\\ & =\int \frac{u^2}{2}\mathrm{d}u\\ & =\frac{u^3}{6}\\ & =\frac{(-\ln (1-x){)}^3}{6}\end{array}$$

由此归纳可以得出 $F_k(x)=\frac{(-\ln (1-x){)}^k}{k!}$。

回到原问题来，我们枚举了中间的最大值的位置 $i$，那么答案应该为 ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{f}_{i-1,a-1}{f}_{n-i,b-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1})}$，发现这其实就等于 ${\displaystyle (n-1)![x^{n-1}]F_{a-1}(x)F_{b-1}(x)=(n-1)![x^{n-1}]\frac{(-\ln (1-x){)}^{a+b-2}}{(a-1)!(b-1)!}}$，后者直接多项式快速幂即可。容易 $O(n\log n)$。

其实最后还是第一类斯特林数，我这是不是相当于自己把第一类斯特林数的生成函数推导了一遍啊，呃呃。

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &a, &b);
    if (a == 0 || b == 0 || n - a - b + 1 < 0) {
        printf("0\n");
        return 0;
    }
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
    inv[n] = qpow(fac[n], P - 2);
    for (int i = n; i >= 1; i--) inv[i - 1] = 1ll * inv[i] * i % P;
    f.set(n - 1);
    for (int i = 0; i < n; i++) f[i] = qpow(i + 1, P - 2);
    f = f.pow(a + b - 2, n);
    printf("%lld\n", 1ll * fac[n - 1] * f[n - a - b + 1] % P * inv[a - 1] % P * inv[b - 1] % P);
    return 0;
}