【学习笔记】FWT

主要是之前 FWT 就没学明白过，而且之前的博也咕了，所以补一篇。

FWT 主要用来计算一类位运算卷积的问题。假如我们有一个二元位运算 $\oplus$ ，那么我们可以计算出：

c_{k} = \sum_{i \oplus j = k} a_{i} b_{j}

类似于 FFT 的思想，我们考虑构造一种线性变换 $F W T$ ，使得 $F W T (a) \cdot F W T (b) = F W T (c)$ （点积）。

考虑找出 $F W T$ 这个变换的转移系数（即矩阵表示）。我们设 $F W T (a) = a F$ ，其中 $a$ 为横向量， $F$ 为变换矩阵，那么就有 $F W T (a)_{i} = \sum_{j = 0}^{n - 1} a_{j} F_{j, i}$ 。

首先，我们知道 $F W T (a)_{i} \cdot F W T (b)_{i} = F W T (c)_{i}$ 。

\begin{aligned} F W T (a)_{i} \cdot F W T (b)_{i} & = F W T (c)_{i} \\ \sum_{j = 0}^{n - 1} a_{j} F_{j, i} \sum_{k = 0}^{n - 1} b_{k} F_{k, i} & = \sum_{p = 0}^{n - 1} c_{p} F_{p, i} \\ \sum_{j = 0}^{n - 1} \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{j} b_{k} F_{j, i} F_{k, i} & = \sum_{p = 0}^{n - 1} c_{p} F_{p, i} \end{aligned}

并且有：

\begin{aligned} c_{p} & = \sum_{x \oplus y = p} a_{x} b_{y} \\ \sum_{p = 0}^{n - 1} F_{p, i} c_{p} & = \sum_{p = 0}^{n - 1} F_{p, i} \sum_{x \oplus y = p} a_{x} b_{y} \\ \sum_{j = 0}^{n - 1} \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{j} b_{k} F_{j, i} F_{k, i} & = \sum_{p = 0}^{n - 1} F_{p, i} \sum_{x \oplus y = p} a_{x} b_{y} \\ \sum_{j = 0}^{n - 1} \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{j} b_{k} F_{j, i} F_{k, i} & = \sum_{x = 0}^{n - 1} \sum_{y = 0}^{n - 1} a_{x} b_{y} F_{x \oplus y, i} \end{aligned}

由此我们发现 $F_{j, i} F_{k, i} = F_{j \oplus k, i}$ 。

而位运算有一个重要的性质：每一位的运算是相互独立的。那么我们可以设 $c (i, j)$ 表示单独一位 $i$ 对 $j$ 的贡献，那么我们就可以设 $F_{i, j}$ 等于 $i, j$ 上的每一位的转移系数的乘积的和。

也就是说，我们想要 $c (j, i) c (k, i) = c (j \oplus k, i)$ 。

那么，我们只需要根据这个位运算的计算值，列出若干形如 $c_{j} c_{k} = c_{j \oplus k}$ 的方程，求出若干组解，组成一个矩阵即可。

同时，为了存在逆运算，我们必须保证矩阵可逆。

与卷积：

c_{i} c_{i} = c_{i} \Rightarrow c_{i} \in {0, 1}

c_{0} c_{1} = c_{0} \Rightarrow c_{1} = 1 or c_{0} = 0

[c_{0}, c_{1}] = [0, 1] or [1, 1]

那么 $F = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}], F^{- 1} = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ 。这个运算实际上代表着高维前缀和。

或卷积：

c_{i} c_{i} = c_{i} \Rightarrow c_{i} \in {0, 1}

c_{0} c_{1} = c_{1} \Rightarrow c_{0} = 1 or c_{1} = 0

[c_{0}, c_{1}] = [1, 1] or [1, 0]

那么 $F = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}], F^{- 1} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$ 。这个运算实际上代表着高维后缀和。

异或卷积：

c_{0} c_{0} = c_{0} \Rightarrow c_{0} \in {0, 1}

c_{0} c_{1} = c_{1} \Rightarrow c_{0} = 1 or c_{1} = 0

c_{1} c_{1} = c_{0} \Rightarrow c_{1} \in {\pm 1}, c_{0} = 1

[c_{0}, c_{1}] = [1, 1] or [1, - 1]

那么 $F = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}], F^{- 1} = [\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix}]$ 。

可以拓展到高维。

例如：ARC132F Takahashi The Strongest

$4$ 进制数，构造位运算 $a \oplus b = {\begin{cases} a & a = b \\ 3 & a \neq b \end{cases}$ 。

c_{i} c_{i} = c_{i} \Rightarrow c_{i} \in {0, 1}

c_{0} c_{1} = c_{0} c_{2} = c_{1} c_{2} = c_{3}

[c_{0}, c_{1}, c_{2}, c_{3}] = [1, 0, 0, 0] or [0, 1, 0, 0] or [0, 0, 1, 0] or [1, 1, 1, 1]

那么就能构造出转移矩阵 $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ ，其逆矩阵 $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$