「解题报告」ARC158D Equation

好神仙的题。

考虑形如 $F(x,y,z)=x^i+y^i+z^i$ 的函数有一个性质：$F(tx,ty,tz)=t^{i}F(x,y,z)$。

原式要求 $(x+y+z)(x^n+y^n+z^n)(x^{2n}+y^{2n}+z^{2n})\equiv x^{3n}+y^{3n}+z^{3n}$，假如我们令 $x=ta,y=tb,z=tc$，那么有 $t^{3n+1}(a+b+c)(a^n+b^n+c^n)(a^{2n}+b^{2n}+c^{2n})\equiv t^{3n}(a^{3n}+b^{3n}+c^{3n})$。

那么假如我们有一个 $(a,b,c)$，满足 $(a+b+c)(a^n+b^n+c^n)(a^{2n}+b^{2n}+c^{2n})\ne 0$ 且 $a^{3n}+b^{3n}+c^{3n}$，那么我们就能计算出 $t$，那么 $(x,y,z)=(ta,tb,tc)$ 就是一组答案。

我们可以每次随机 $(a,b,c)$，然后判定答案合不合法即可。

我们可以证明，随机一次成功的概率大于等于 $\frac{3}{4}$。

考虑我们要满足的性质：

1. $a\ne b\ne c$
2. $a^i+b^i+c^i\ne 0,\mathrm{\forall }i\in \{1,n,2n,3n\}$

前者概率为 $O(\frac{1}{p})$，考虑后者。

我们可以证明，$a^i+b^i+c^i=0$ 的概率小于等于 $\frac{1}{4}$。

我们设 $S$ 集合为所有的非零的 $a^i$ 的取值，那么分几种情况：

设 $m$ 为 $S$ 集合的大小，可以发现，如果 $x\in S$，那么 $x^k\in S$，那么实际上 $S$ 就是某个单位根集合，即有 $x^m\equiv 1$。

1. $m=1/2$：那么说明 $S=\{1\}/\{\pm 1\}$，由于 $p\ge 5$，可以发现不可能等于 $0$；
2. $m=3$：说明有三个数 $(x,y,z)$，且 $x+y+z=0$，由于 $x^3\equiv 1$，且 $p\ge 5$，那么有 $(-2x{)}^3\ne 1$，即 $-2x\ne 1$，则 $x^3-(-2y{)}^3\ne 0$，即 $x+2y\ne 0$，这意味着如果有两个相同的数，和一定不等于 $0$。那么随机选取三个数，两两不相同的概率就是 $\frac{3!}{3^3}=\frac{6}{27}<\frac{1}{4}$；
3. $m\ge 4$：那么固定 $(a,b)$，假如 $-a^i-b^i\notin S$，那么不可能等于 $0$；否则，选中这个数的概率为 $\frac{1}{m}\le \frac{1}{4}$。

综上可知等于 $0$ 的概率为 $\frac{1}{4}$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 200005, P = 998244353;
int T;
int n, p;
mt19937 rd(chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
int Rand(int l, int r) {
    return uniform_int_distribution<int>(l, r)(rd);
}
long long qpow(int a, long long b) {
    int ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = 1ll * ans * a % p;
        a = 1ll * a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main() {
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d%d", &n, &p);
        while (true) {
            long long a = Rand(1, p - 1), b = Rand(1, p - 1), c = Rand(1, p - 1);
            if (a == b || a == c || b == c) continue;
            int x = (a + b + c) * (qpow(a, n) + qpow(b, n) + qpow(c, n)) % p * (qpow(a, 2ll * n) + qpow(b, 2ll * n) + qpow(c, 2ll * n)) % p;
            int y = (qpow(a, 3ll * n) + qpow(b, 3ll * n) + qpow(c, 3ll * n)) % p;
            if (x != 0 && y != 0) {
                int t = 1ll * y * qpow(x, p - 2) % p;
                vector<long long> ans = { 1ll * a * t % p, 1ll * b * t % p, 1ll * c * t % p };
                sort(ans.begin(), ans.end());
                printf("%lld %lld %lld\n", ans[0], ans[1], ans[2]);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}