「解题报告」ARC134E Modulo Nim

真的不想写这题，感觉这种题出的很怪。

但是今天模拟赛出了，所以我还是写一下吧。

首先我们只关心当前所有数的集合，有多少我们不关心。设这个集合为 \(S\)。

观察样例，感觉可以猜测先手必败的情况很少，那么我们分类讨论一下。

1. \(S = \{1\} / \{2\}\)：显然先手必败；
2. \(S\) 中存在奇数：那么先手可以选择一个 \(2\)，此时 \(S = \{1\}\)，那么先手必胜；
3. \(S\) 中存在 \(a_i \bmod 4 = 2\)：先手可以选择一个 \(4\)，此时 \(S = \{2\}\)，那么先手必胜；
4. \(S\) 中同时存在 \(a_i \bmod 3 = 1\) 和 \(a_i \bmod 3 = 2\)：首先这样的数在 \([1, 12]\) 内只有 \(4, 8\)，分别对应 \(1\) 和 \(2\)。对于 \(S = \{4, 8\}\) 来说，先手必败。枚举所有情况可知。那么对于其它情况来说，先手选取一个 \(12\) 必定能够使 \(S = \{4, 8\}\)，于是先手必胜；
5. \(S\) 中只存在 \(a_i \bmod 3 = 1\) 或 只存在 \(a_i \bmod 3 = 2\)（可以有 \(a_i \bmod 3 = 0\)）：先手选取 \(3\) 即可使得 \(S = \{1\} / \{2\}\)，则先手必胜；
6. \(S\) 中的所有数都是 \(12\) 的倍数：由于 \(a_i \le 200\)，这样的数只有 \(\lfloor\frac{200}{12}\rfloor = 16\) 个，我们可以直接枚举每一种 \(S\) 暴力计算胜负情况。

那么我们发现这里面先手必败的情况只有：

1. \(S = \{1\} / \{2\}\)；
2. \(S = \{4, 8\}\)；
3. \(S \subseteq \{12k \mid k \in \mathbf N_+\}\) 中的部分情况。

后两者可以通过状压 DP 求出方案数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 205, P = 998244353;
int n, a[MAXN];
bool f[1 << 16], g[1 << 16];
vector<int> mod(vector<int> s, int m) {
    vector<int> t;
    for (int i : s) if (i % m) {
        t.push_back(i % m);
    }
    sort(t.begin(), t.end());
    t.erase(unique(t.begin(), t.end()), t.end());
    return t;
}
bool dfs(vector<int> S) {
    if (S.empty()) return true;
    if (S == vector<int>{ 1 }) return false;
    if (S == vector<int>{ 2 }) return false;
    if (S == vector<int>{ 4, 8 }) return false;
    for (int i : S) if (i % 12) {
        return true;
    }
    int T = 0;
    for (int i : S) T |= 1 << (i / 12 - 1);
    if (g[T]) return f[T];
    g[T] = 1;
    for (int i = 1; i <= S.back(); i++) {
        if (!dfs(mod(S, i))) {
            f[T] = 1;
            break;
        }
    }
    return f[T];
}
int h[MAXN][1 << 16];
void add(int &a, int b) {
    a += b;
    if (a >= P) a -= P;
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    // precompute all boards
    f[0] = 1;
    for (int s = 0; s < (1 << 16); s++) {
        vector<int> S;
        for (int i = 0; i < 16; i++) if (s >> i & 1) {
            S.push_back((i + 1) * 12);
        }
        dfs(S);
    }
    // case 1: {1} or {2}
    int ans = 0, tot = 1;
    int mn = INT_MAX;
    for (int i = 1; i <= n; i++) mn = min(mn, a[i]);
    ans++;
    if (mn >= 2) ans++;
    // case 2: {4, 8}
    memset(h, 0, sizeof h);
    h[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < 4; j++) if (h[i - 1][j]) {
            if (a[i] >= 4) add(h[i][j | 0b01], h[i - 1][j]);
            if (a[i] >= 8) add(h[i][j | 0b10], h[i - 1][j]);
        }
    }
    add(ans, h[n][0b11]);
    // case 3: { 12k }
    memset(h, 0, sizeof h);
    h[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int s = 0; s < (1 << 16); s++) if (h[i - 1][s]) {
            for (int j = 0; j < 16; j++) if (a[i] >= (j + 1) * 12) {
                add(h[i][s | (1 << j)], h[i - 1][s]);
            }
        }
    }
    for (int s = 0; s < (1 << 16); s++) if (!f[s]) {
        add(ans, h[n][s]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        tot = 1ll * tot * a[i] % P;
    }
    ans = (tot - ans + P) % P;
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}