「解题报告」ARC155D Avoid Coprime Game

还不错的题，但是这场的 A, B, C 出的是真的恶心。分类讨论你马呢。

可以改写一下过程，改成选择一个数后将所有 \(a_j \gets \gcd(a_i, a_j)\)，不难发现结果不变，而且这样所有 \(a_i \le G\)。

首先有一个朴素的想法：假如当前 \(G\) 为某数，那么所有小于 \(G\) 的数都没被碰过。

但是有一个问题：我们不知道之前选了多少等于 \(G\) 的数，而下一步可能能够选择等于 \(G\) 的没选的数。

我们先不考虑大于等于 \(G\) 的数，只考虑小于它的数。那这就是一个经典博弈 DP 问题，直接做就行。

此时我们可能得到几种情况：

1. 有一个人先手必胜；
2. 两个人都先手必败。

如果是第一种情况，那么肯定不会选等于 \(G\) 的数，因为选了就把回合给了对方，结果没啥区别。

而如果是第二种情况，两个人可以一直选等于 \(G\) 的数，最后谁先不能选 \(G\) 了谁就 G 了。

于是我们发现，我们只关心之前选的 \(G\) 的个数的奇偶性，所以只记录这个奇偶性即可。

当前有多少个等于 \(G\) 的数很好处理，看有多少数是 \(G\) 的倍数即可，主要来考虑当前 \(G\) 能转移到哪里，也就是求所有的 \(\gcd(G, a_i)\)。

考虑设 \(f_{G, b}\) 表示能够使 \(\gcd(G, a_i) = b\) 的数的个数，我们可以容斥求这个东西，\(f_{G, b} = \sum [b | a_i] - \sum_{b | c, b \ne c} f_{G, c}\)。

枚举一步倍数是 \(O(n \log n)\) 的，枚举两步就是 \(O(n \log^2 n)\)，所以总复杂度 \(O(n \log^2 n)\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 200005;
int n, m, a[MAXN];
vector<int> fac[MAXN], g[MAXN];
int cnt[MAXN];
bool f[MAXN][2];
int h[MAXN];
int tmp[MAXN];
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        cnt[a[i]]++;
    }
    m = *max_element(a + 1, a + 1 + n);
    for (int i = m; i > 1; i--) {
        for (int j = i; j <= m; j += i) {
            fac[j].push_back(i);
            tmp[i] += cnt[j] > 0;
        }
    }
    for (int i = 2; i <= m; i++) {
        for (int a : fac[i]) {
            h[a] += tmp[a];
            for (int b : fac[a]) if (a != b) {
                h[b] -= h[a];
            }
        }
        for (int a : fac[i]) {
            if (h[a]) {
                if (i != a) {
                    g[i].push_back(a);
                }
                h[a] = 0;
            }
        }
    }
    for (int i = 2; i <= m; i++) {
        for (int j = i + i; j <= m; j += i) {
            cnt[i] += cnt[j];
        }
    }
    for (int i = 2; i <= m; i++) {
        for (int j : g[i]) {
            f[i][0] |= !f[j][1];
            f[i][1] |= !f[j][0];
        }
        if (!f[i][0] && !f[i][1]) {
            f[i][cnt[i] % 2] = 1;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        printf(f[a[i]][0] ? "Aoki\n" : "Takahashi\n");
    }
    return 0;
}