A Day With: Mathematics

闲话：

最近看 npesta 看的有点多，于是标题起的这个。

为什么一个非 GD 人会这么关注 GD 啊。

被 Limbo 震撼到了，尤其是最后的钥匙段，我一直盯着钥匙看了十几次也没看成功一次，GD 人太可怕。

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决定在我还有一定理智的时候把我一直没看明白的东西写下来。

虽然还是不理解吧。

我是萌新，不要 D 我 qwq

拉格朗日反演

我们记 $F(G(x))=x$ 的两个多项式 $F(x)$ 与 $G(x)$ 为复合逆。

首先有一个性质：若 $F(G(x))=x$，那么 $G(F(x))=x$。

我问 jjdw 这东西咋证明的，我忘了当时 jjdw 有没有给我证明了，反正我不会证。

拉格朗日反演：如果 $F(x)$ 与 $G(x)$ 互为复合逆，且 $F(x)$ 和 $G(x)$ 常数项为 $0$，一次项系数不为 $0$，那么：

$$[x^n]F(x)=\frac{1}{n}[x^{n-1}]{\left(\frac{x}{G(x)}\right)}^n$$

证明看不懂，咕了。

还有个扩展拉格朗日反演：

$$[x^n]H(F(x))=\frac{1}{n}[x^{n-1}]H^{\prime }(x){\left(\frac{x}{G(x)}\right)}^n$$

另类形式：

$$[x^n]H(F(x))=[x^n]H(x)G^{\prime }(x){\left(\frac{x}{G(x)}\right)}^{n+1}$$

卡特兰数

众所周知卡特兰数生成函数 $C(x)=xC(x{)}^2+1$。我们尝试凑 $x$，首先把常数项去掉，那么设 $F(x)=C(x)-1$，那么就有 $F(x)=x(F(x)+1{)}^2$，$\frac{F(x)}{(F(x)+1{)}^2}=x$，那么 $G(x)=\frac{x}{(x+1{)}^2}$。

根据拉格朗日反演，$[x^n]F(x)=\frac{1}{n}[x^{n-1}](x+1{)}^{2n}=\frac{1}{n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n-1})=\frac{1}{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$。

大朋友和多叉树

求有 $n$ 个叶子的无标号有根树的数量，满足非叶子节点的度数属于集合 $A$，儿子有顺序。

考虑直接写出答案的生成函数：$F(x)=\sum _{i\in A}F(x{)}^i+x$，$F(x)$ 没有常数项，那么可以直接凑出 $F(x)-\sum _{i\in A}F(x{)}^i=x$，那么 $G(x)=x-\sum _{i\in A}{x}^i$。

根据拉格朗日反演，$[x^n]F(x)=\frac{1}{n}[x^{n-1}]{\left(\frac{x}{G(x)}\right)}^n$，多项式求逆加多项式快速幂即可。

[ABC222H] Beautiful Binary Tree

理性偷税。

首先不难转化题意为求满足相邻两个点的数不全为 $0$，且根节点为 $1$ 的二叉树数量。

我们设 $f_{0/1,n}$ 为根节点为 $0/1$ 的 $n$ 个节点的二叉树的数量，那么有：

$$f_{0,n}=2f_{1,n}+\sum _{i=0}^n{f}_{1,i}{f}_{1,n-i},f_{0,1}=0$$

$$f_{1,n}=2(f_{0,n-1}+f_{1,n-1})+\sum _{i=0}^{n-1}(f_{0,i}+f_{1,i})(f_{0,n-1-i}+f_{1,n-1-i}),f_{1,1}=1$$

写成生成函数：

$$F_0(x)=2F_1(x)+F_1(x{)}^2$$

$$F_1(x)=x(1+2(F_0(x)+F_1(x))+(F_0(x)+F_1(x){)}^2)=x(F_0(x)+F_1(x)+1{)}^2$$

直接把 $F_0(x)$ 代进去：

$$F_1(x)=x(F_1(x{)}^2+3F_1(x)+1{)}^2$$

然后找复合逆：

$$x=\frac{F_1(x)}{(F_1(x{)}^2+3F_1(x)+1{)}^2}$$

$$G(x)=\frac{x}{(x^2+3x+1{)}^2}$$

那么就可以直接套拉格朗日反演了：

$$\begin{array}{rl}[x^n]F_1(x)& =\frac{1}{n}[x^{n-1}](x^2+3x+1{)}^{2n}\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{2n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{i})[x^{n-1}]x^{2i}(3x+1{)}^{2n-i}\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{2n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-i}{n-2i-1})3^{n-2i-1}\end{array}$$

复杂度 $O(n)$。

好了知道了 joke 你可以不用说了。

概率生成函数

不知道有没有用，反正我是闲的。

定义

定义一个非负整数随机变量 $X$ 的概率生成函数 $F_X(x)$ 为 $F_X(x)=\sum _{i\ge 0}P(X=i)x^i$。

首先众所周知 $\sum _{i\ge 0}P(X=i)=1$，那么也就是说 $F_X(1)=1$。

期望值

$$\begin{array}{rl}E(X)& =\sum _{i\ge 0}iP(X=i)\\ & =\sum _{i\ge 0}P(X=i)i{1}^{i-1}\\ & =F_X^{\prime }(1)\end{array}$$

那么就是说，期望值就是生成函数的导数。

根据这个我们还可以推出另一个结论：$E(X^{\underset{―}{k}})=F_X^{(k)}(1)$。

方差

$$\begin{array}{rl}D(X)& =E(X^2)-E(X{)}^2\\ & =E(X^{\underset{―}{2}})+E(X^{\underset{―}{1}})-E(X{)}^2\\ & =F_X^{″}(1)+F_X^{\prime }(1)-F_X^{\prime }(1{)}^2\end{array}$$

这给我们提供了一种不需要求概率就能计算期望或方差的方法。

卷积

没啥意思，就 $F_{X+Y}(x)=F_X(x)F_Y(x)$，原因显然。

[CTSC2006]歌唱王国

题意：给定一个长为 $n$ 的序列 $A$，有一个序列 $B$，初始为空，每次随机添加一个 $[1,m]$ 的数，当 $B$ 中出现 $A$ 序列时停止，问期望多少步结束？

我们设 $f_i$ 为在第 $i$ 步结束的概率，其概率生成函数为 $F(x)$；

令 $g_i$ 为第 $i$ 步时还没结束的概率，其普通生成函数为 $G(x)$。

首先，我们考虑给仍未结束的序列加入单独的一个数，那么必然有 $f_i+g_i=g_{i-1}$，并且 $f_0=0,g_0=1$，于是可以得到生成函数的关系 $F(x)+G(x)=1+xG(x)$。

两边求导，得到 $F^{\prime }(x)+G^{\prime }(x)=G(x)+x{G}^{\prime }(x)$。

我们要求的期望值就是 $F^{\prime }(1)$，于是代入 $x=1$，得到 $F^{\prime }(1)=G(1)$，那么我们想办法求 $G(1)$。

考虑给仍未结束的序列加入整个 $A$ 序列。那么加入完成之后一定会结束，但是有可能提前结束，因为可能加入的一段前缀是 border，正好提前组成了 $A$ 序列。那么可以写出以下式子：

$$G(x){\left(\frac{1}{m}x\right)}^n=\sum _{i=1}^n{a}_{i}F(x){\left(\frac{1}{m}x\right)}^{n-i}$$

$a_i$ 表示长度为 $i$ 的前缀是否为 border。

那么我们代入 $x=1$，就有 $G(1)m^{-n}=\sum _{i=1}^n{a}_i{m}^{i-n}$，即 $G(1)=\sum _{i=1}^n{a}_i{m}^i$。

那么期望值就是 $G(1)=\sum _{i=1}^n{a}_i{m}^i$。

magic.

还有几个例题咕了。

感觉概率生成函数能解决的问题都和无穷过程求结束时间的期望值，所以这些题能不能用鞅与停时定理来做？

待考察。

好了今天的理智值用光了，大家再见。